结论：当劳动合同到期而员工赖着不走时，公司可以采取一系列合法且合理的措施来处理这一问题，包括沟通确认、发出书面通知、办理离职手续以及通过法律途径维权等。

详细分析：

1. 沟通确认与了解原因：

   • 查看劳动合同：首先，公司应确认劳动合同的约定期限已经届满，查阅合同文本中关于起止时间的条款，确保自身对合同状态有清晰的认识。
   • 与员工沟通：主动与员工进行沟通，了解其不愿离职的具体原因。可能是员工对合同续签有误解，或者存在其他个人原因。在沟通过程中，公司应保持耐心和理性，避免激化矛盾。

2. 发出书面通知：

   • 明确续签或离职意向：若沟通无果，公司应向员工发出书面通知，明确告知其劳动合同已到期，并询问其是否愿意续签。若员工不愿续签，则要求其在一定期限内办理离职手续。
   • 设定合理期限：在书面通知中，公司应设定一个合理的期限，要求员工在该期限内作出决定并办理相关手续。这有助于确保公司有足够的时间来安排后续工作。

3. 办理离职手续：

   • 结算工资与福利：无论员工是否愿意离职，公司都应按照法律规定和合同约定，结算其应得的工资、奖金、福利等。
   • 开具离职证明：为员工开具离职证明，这是员工后续求职或办理其他手续时可能需要的文件。
   • 办理社保减员：及时为员工办理社保减员手续，确保其社保关系得到妥善处理。

4. 法律途径维权：

   • 向劳动监察部门投诉：若员工拒绝办理离职手续或强行要求继续工作，公司可向当地劳动监察部门投诉，要求其责令员工改正违法行为。
   • 申请劳动仲裁：若劳动监察部门的处理未能解决问题，或员工存在其他违法行为（如窃取公司机密、损坏公司财物等），公司可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，公司需提供充分的证据支持自己的主张，如劳动合同、书面通知、沟通记录、监控录像等。
   • 提起诉讼：对于仲裁结果不满意或员工存在严重违法行为的情形，公司可向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求员工承担相应的法律责任。

注意事项：

• 保持冷静与理性：在整个处理过程中，公司应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击员工，以免激化矛盾或引发法律纠纷。
• 证据保存：无论是沟通记录、书面通知还是其他相关凭证，公司都应妥善保存，以便在必要时作为证据使用。
• 遵守法律法规：公司在处理这一问题时，应严格遵守相关法律法规和政策规定，确保自身行为的合法性和合理性。

示例说明：

假设某公司与员工小张的劳动合同于2023年12月31日到期。到期后，小张拒绝离职并继续在公司工作。公司可按照以下步骤处理：

1. 与小张进行沟通，了解其不愿离职的原因，并尝试协商解决。
2. 若沟通无果，公司向小张发出书面通知，明确告知其劳动合同已到期，并要求其在2024年1月10日前办理离职手续。
3. 若小张仍拒绝离职，公司可向当地劳动监察部门投诉，并同时准备相关证据以备仲裁或诉讼之需。
4. 根据劳动监察部门的处理结果或仲裁/诉讼结果，公司采取相应的后续措施。

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