结论：私了时垫付的钱能否追回，取决于多种因素，包括双方是否有书面协议、协议内容如何约定、垫付的性质以及后续履行情况等。以下从不同角度为您详细分析：
一、有书面协议且明确约定追回条款
法律背景：
- 如果双方在私了时签订了书面协议，并且协议中明确约定了垫付的钱款在特定条件下可以追回，那么这一约定是具有法律效力的。
- 根据《民法典》的相关规定，依法成立的合同，对当事人具有法律约束力。当事人应当按照约定履行自己的义务，不得擅自变更或者解除合同。
法律建议：
- 在这种情况下，如果满足协议中约定的追回条件，您可以依据协议向对方主张追回垫付的钱款。
- 如果对方拒绝履行，您可以考虑通过法律途径，如起诉或申请仲裁，来维护自己的合法权益。
二、有书面协议但未明确约定追回条款
法律背景：
- 如果双方签订了书面协议，但协议中并未明确约定垫付的钱款是否可以追回，那么就需要根据协议的其他条款以及双方的实际履行情况来综合判断。
- 在这种情况下，如果垫付的钱款被视为一种借款或预付款，且双方没有约定具体的还款或结算方式，那么您可能需要根据《民法典》中关于借款合同或预付款的相关规定来主张权利。
法律建议：
- 您可以先尝试与对方协商，看是否能够达成补充协议，明确垫付钱款的追回方式和条件。
- 如果协商无果，您可以考虑收集相关证据，如转账记录、聊天记录等，以证明垫付的事实和金额，然后通过法律途径来主张权利。
三、无书面协议，仅有口头约定或事实行为
法律背景：
- 如果双方没有签订书面协议，仅有口头约定或事实行为（如一方直接为另一方垫付了钱款），那么追回垫付的钱款可能会面临更大的困难。
- 在这种情况下，您需要证明双方之间存在垫付的合意以及垫付的具体金额和事实。这通常需要依靠其他证据来支持，如证人证言、转账记录、聊天记录等。
法律建议：
- 您可以先尝试与对方协商，看是否能够达成还款协议或确认垫付的事实和金额。
- 如果协商无果，且您能够收集到足够的证据来证明垫付的事实和金额，那么您可以考虑通过法律途径来主张权利。但需要注意的是，由于缺乏书面协议，您的主张可能会面临更大的举证困难和法律风险。
四、特殊情况：垫付行为构成无因管理或不当得利
法律背景：
- 如果您的垫付行为构成无因管理（即没有法定的或约定的义务，为避免他人利益受损失而进行管理或服务的行为），那么您有权要求受益人偿还因管理事务而支出的必要费用。
- 如果对方的受益没有法律根据，且给您造成了损失，那么对方的受益可能构成不当得利，您有权要求对方返还。
法律建议：
- 在这种情况下，您需要收集相关证据来证明您的垫付行为构成无因管理或不当得利。
- 然后，您可以考虑通过法律途径来主张权利，要求对方偿还必要费用或返还不当得利。
后续行动建议：
- 收集证据：无论哪种情况，收集相关证据都是至关重要的。这包括书面协议、转账记录、聊天记录、证人证言等。
- 咨询专业律师：虽然我能够为您提供一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都是独特的。因此，如果您需要更具体的法律帮助或建议，请随时向我咨询。我可以根据您的具体情况和证据，为您提供更详细和个性化的法律分析。
- 考虑法律途径：如果协商无果，且您认为自己的权益受到了侵害，那么您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。这包括起诉、申请仲裁等。