结论概述：赔偿私了后，对于协议金额以外的补偿是否可以追回，这主要取决于私了协议的具体内容、签订时的双方意思表示是否真实自愿，以及是否存在可撤销或无效的情形。以下从不同角度进行详细分析。
一、私了协议的法律效力
协议内容合法且双方自愿：
- 如果私了协议是双方真实意思的表示，且协议内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么该协议是具有法律效力的。
- 在这种情况下，一旦协议签订并履行，双方就应当受协议内容的约束，不得随意反悔或要求追加补偿。
协议存在可撤销或无效的情形：
- 如果私了协议是在一方受欺诈、胁迫，或者存在重大误解、显失公平等情形下签订的，那么受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构撤销该协议。
- 撤销后，协议自始无效，双方应当恢复到协议签订前的状态，此时受损害方可以就实际损失要求对方进行赔偿，包括协议金额以外的补偿（如果实际损失确实超出协议金额）。
- 另外，如果协议内容违反法律、行政法规的强制性规定，或者违背公序良俗，那么该协议也是无效的，双方同样可以就实际损失进行协商或诉讼。
二、协议金额以外的补偿追回的可能性
协议已履行且无法定撤销或无效情形：
- 如果私了协议已经履行完毕，且不存在上述可撤销或无效的情形，那么双方就应当受协议内容的约束，不得再要求追加补偿。
协议未履行或存在可撤销/无效情形：
- 如果私了协议尚未履行，或者虽然已履行但存在可撤销或无效的情形，那么受损害方可以与对方协商追加补偿，或者通过诉讼、仲裁等途径要求对方赔偿实际损失（包括协议金额以外的补偿）。
三、实际操作建议
审查私了协议：
- 首先，仔细审查私了协议的内容，确认是否存在可撤销或无效的情形。
- 如果存在疑问或不确定的地方，建议咨询专业律师进行法律分析。
收集证据：
- 如果认为私了协议存在可撤销或无效的情形，或者认为实际损失超出了协议金额，那么应当积极收集相关证据，如医疗记录、费用单据、证人证言等，以支持自己的主张。
协商或诉讼：
- 在收集到足够证据后，可以尝试与对方进行协商，看是否能够达成追加补偿的协议。
- 如果协商无果，或者对方拒绝协商，那么可以考虑通过诉讼或仲裁等途径来维护自己的合法权益。
四、风险提示
- 需要注意的是，即使私了协议存在可撤销或无效的情形，或者实际损失超出了协议金额，也并不意味着一定能够追回协议金额以外的补偿。因为这还取决于对方的经济状况、赔偿能力以及法院或仲裁机构的判决结果等因素。
- 因此，在决定是否要追回协议金额以外的补偿时，需要综合考虑各种因素，并谨慎评估风险。
总结与建议：赔偿私了后对于协议金额以外的补偿是否可以追回，取决于私了协议的法律效力以及实际损失情况。如果私了协议合法有效且已履行完毕，那么一般难以追回；如果存在可撤销或无效的情形，或者实际损失超出了协议金额，那么可以考虑通过协商或诉讼等途径来维护自己的合法权益。在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。