结论：乡镇卫生院合同工到期医院不续签，员工是否有赔偿需根据具体情况判断，主要取决于合同类型、合同约定以及医院不续签的原因。

分析说明：

1. 合同类型与约定：

   • 固定期限劳动合同：若员工与乡镇卫生院签订的是固定期限劳动合同，合同到期后，医院有权选择不续签。在此情况下，除非合同中有特别约定或医院存在违法行为（如违法解除合同），否则员工通常无权要求赔偿。但根据《劳动合同法》的相关规定，医院应当支付经济补偿金的情况是合同到期后医院不续签且员工无过错，经济补偿金的标准通常按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
   • 无固定期限劳动合同：若员工与乡镇卫生院签订的是无固定期限劳动合同，医院不续签则可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求医院支付赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。但这种情况较为特殊，因为无固定期限劳动合同通常没有明确的到期日。

2. 医院不续签的原因：

   • 员工无过错：如果员工在合同期间内没有过错，且医院没有合法理由不续签合同，那么员工有权要求医院支付经济补偿金或赔偿金（取决于合同类型）。
   • 员工存在过错：如果员工在合同期间内存在严重违反医院规章制度、失职、营私舞弊等行为，给医院造成重大损害，或者被依法追究刑事责任等情形，医院有权不续签合同，且无需支付经济补偿金或赔偿金。

3. 特殊情况：

   • 合同中有特别约定：如果劳动合同中有特别约定，如合同到期后自动续签、医院不续签需支付高额赔偿金等，那么应按照合同约定执行。
   • 医院存在违法行为：如果医院在合同期间内存在违法行为，如未按时支付工资、未提供劳动保护等，员工有权要求医院支付赔偿金，并可能因此获得合同续签或更高额的赔偿。

行动建议：

• 核查合同：首先，员工应仔细核查与乡镇卫生院签订的劳动合同，了解合同类型、合同期限以及合同中的特别约定。
• 与医院沟通：如果医院不续签合同，员工应与医院进行沟通，了解不续签的具体原因，并尝试协商解决方案。
• 寻求法律援助：如果员工认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的救济途径。

后续思考依据：

• 在处理此类纠纷时，应重点关注劳动合同的具体内容、医院不续签的原因以及相关法律法规的规定。
• 员工应保留好与医院的沟通记录、劳动合同等相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。

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