关于刑事案件立案期限审查延长的法律依据，主要可以归纳为以下几点：
《公安机关办理刑事案件程序规定》的相关规定：
- 根据该规定第一百七十八条第二款，对于疑难、复杂线索，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至三十日。这里的“疑难、复杂线索”通常指的是案件事实、证据复杂，需要深入调查或鉴定的线索，以及涉及人员众多、关系复杂或多地区、多时间段的犯罪行为线索。
- 若案件特别疑难、复杂，经地（市）级以上公安机关负责人批准，还可以在上述三十日的基础上再延长三十日。这一规定为公安机关在面对复杂案件时提供了必要的审查时间，以确保案件的全面、准确审查。
《最高人民检察院、公安部关于公安机关办理经济犯罪案件的若干规定》的特别规定：
- 对于经济犯罪线索，该规定第十四条明确，公安机关应在七日以内决定是否立案。对于重大、疑难、复杂线索，可经县级以上公安机关负责人批准延长至三十日。
- 若案件特别重大、疑难、复杂或跨区域性，可再经上一级公安机关负责人批准延长三十日。这一规定针对经济犯罪案件的特殊性，提供了更为详细的立案审查期限延长规定。
立案监督与延长期限的实践应用：
- 在实际操作中，若人民检察院对公安机关应当立案而不立案的线索进行审查后，认为需要延长立案审查期限的，也会根据案件的具体情况，要求公安机关在规定期限内立案或延长立案审查期限。
- 特别是对于重大、复杂、疑难或特别重大涉案情形的案件，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可延长至三十日；在三十日内仍不能作出决定的，需经上一级公安机关负责人批准，可再延长三十日。这一实践应用确保了公安机关在面对复杂案件时，有足够的时间进行全面、细致的审查。
法律背景与建议：
- 立案是刑事诉讼的起始环节，其审查期限的延长规定旨在平衡案件审查的全面性与效率性。公安机关在延长立案审查期限时，必须严格遵守相关法律规定，确保程序的合法性和正当性。
- 对于当事人而言，若遇到刑事案件立案期限审查延长的情况，应了解相关法律规定，积极与公安机关沟通，了解案件进展情况。同时，也可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
- 在实际应用中，公安机关应根据案件的具体情况，如复杂性、侦查难度及是否涉及特定情形等，合理判断并申请延长立案审查期限。检察机关和上级公安机关也应加强对延长立案审查期限的监督和管理，确保程序的合法性和公正性。
可能产生的法律后果：
- 若公安机关未经批准擅自延长立案审查期限，可能构成程序违法，影响案件的后续处理。当事人有权向检察机关提出申诉或控告，要求纠正违法行为。
- 若因延长立案审查期限导致案件处理延误，给当事人造成损失的，当事人有权依法要求赔偿。
综上所述，刑事案件立案期限审查延长的法律依据主要来源于《公安机关办理刑事案件程序规定》和《最高人民检察院、公安部关于公安机关办理经济犯罪案件的若干规定》等相关法律法规。在实际操作中，应严格遵守相关法律规定，确保案件的依法、公正处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。