驾驶员驾驶公司车辆发生交通事故后，公司作为车辆所有者或管理者，需根据事故具体情况承担相应责任，并采取合理措施处理后续事宜。具体处理方式需分情况讨论：

1. 驾驶员存在故意或重大过失
   若事故因驾驶员酒驾、毒驾、无证驾驶、故意违章等行为导致，公司可依据内部规章制度（如《车辆管理制度》《员工手册》）向驾驶员追偿。根据《民法典》第1191条，用人单位工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任；但若员工存在故意或重大过失，用人单位赔偿后可向其追偿。
   建议：公司应立即固定证据（如行车记录仪、监控录像、交警认定书），明确驾驶员过错程度，并通过法律途径主张追偿权。

2. 驾驶员存在一般过失或无过错
   若事故因驾驶员正常操作失误（如未保持安全距离、未及时避让）导致，且无主观故意或重大过失，公司通常需自行承担对第三方的赔偿责任（如车辆维修、人身损害赔偿）。根据《民法典》第1209条，因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人承担赔偿责任；但若公司对损害发生有过错（如车辆未年检、未投保交强险），则需承担相应责任。
   建议：公司应优先通过交强险和商业险理赔，减少自身损失；同时检查车辆管理是否存在漏洞（如未定期保养、未及时处理违章），避免被认定为“存在过错”。

3. 公司未履行法定管理义务
   若公司未依法为车辆投保交强险、未定期进行安全技术检验，或明知驾驶员无驾驶资格仍安排其驾车，公司可能被认定为“存在过错”，需与驾驶员承担连带赔偿责任。根据《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第1条，机动车所有人或管理人知道或应当知道机动车存在缺陷、驾驶人无驾驶资格等情形，仍出借或出租的，应承担赔偿责任。
   建议：公司应严格审核驾驶员资质（如驾驶证有效期、违章记录），定期检查车辆状况（如刹车、轮胎），确保符合安全标准；同时保留相关记录（如车辆维修单、驾驶员培训记录）作为免责证据。

公司后续处理流程建议：

1. 立即报案：事故发生后，公司应要求驾驶员立即报警并通知保险公司，保护现场，配合调查。
   
2. 协助理赔：向保险公司提交事故认定书、维修发票等材料，通过交强险和商业险覆盖损失。
   
3. 内部调查：核实驾驶员是否存在违规行为，依据公司制度决定是否追偿或处分。
   
4. 法律应对：若涉及第三方索赔或内部追偿纠纷，及时咨询律师，制定诉讼或和解策略。
   

如有具体案件细节（如事故责任划分、车辆保险情况、驾驶员过错程度），可进一步向我咨询，我会结合实际情况提供更精准的建议。