结论前置：公司车辆发生事故时，驾驶员需承担的责任取决于事故发生的具体情形，包括是否为职务行为、驾驶员是否存在故意或重大过失、是否违反公司规定或超出工作范围等。以下是对不同情况的具体分析：
一、职务行为下的责任承担
公司承担主要责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位（即公司）承担侵权责任。这意味着，如果驾驶员是在执行公司工作任务过程中发生交通事故，且不存在故意或重大过失，那么主要由公司承担侵权责任。
驾驶员可能承担连带责任：
- 如果驾驶员在执行工作任务过程中存在故意或重大过失，如酒驾、严重超速、闯红灯、疲劳驾驶或明知车辆有故障仍强行驾驶等，驾驶员需与公司承担连带赔偿责任。公司在对外赔偿后，有权向有故意或者重大过失的驾驶员追偿。
二、非职务行为下的责任承担
驾驶员自行承担责任：
- 如果驾驶员并非在执行公司任务时发生事故，如下班后私自驾车或未经公司允许私自使用车辆，则责任完全由驾驶员自己承担。这种情况下，驾驶员的行为不属于职务行为，公司不承担赔偿责任。
违反公司规定的责任：
- 若驾驶员违反了公司关于车辆使用、驾驶操作等方面的内部规定，公司可能依据规章制度要求其承担一定责任。例如，未经允许私自将车开回家发生事故，公司可根据规定追究驾驶员责任。但这一责任通常限于公司内部管理范畴，不影响对外赔偿责任的划分。
三、保险赔偿与责任分担
保险公司责任：
- 交通事故通常属于保险公司的承保范围。赔偿顺序为：先由交强险保险公司在责任限额内赔偿；不足部分，由商业三者险保险公司根据合同赔偿；仍有不足的，依照相关法律法规由侵权人赔偿。因此，在事故发生后，应及时通知保险公司并按照流程进行理赔。
保险免责情形：
- 若驾驶员存在保险合同约定的免责事由，如酒驾、逃逸等，保险公司可能拒赔或在赔偿后向驾驶员追偿。这种情况下，驾驶员需自行承担赔偿责任。
四、特殊情况处理
单车事故：
- 如果事故仅涉及车辆对公共设施等造成损坏，应根据交通事故责任认定书来确定责任。若驾驶员无过错，赔偿责任应由公司承担；若驾驶员存在过错，则需根据过错程度承担相应责任。
第三方责任：
- 如果事故是由第三方的过错导致，如其他车辆违规行驶或道路设施问题，第三方应承担相应责任。公司和驾驶员可向第三方追偿。
五、法律建议
及时报警并保护现场：
- 发生事故后，驾驶员应立即停车保护现场，抢救伤者，并报警。同时通知公司和保险公司以便及时处理。
配合调查并保留证据：
- 驾驶员应配合交警部门的调查取证工作，并保留好相关证据，如事故现场照片、行车记录仪视频等。这些证据对于后续的责任认定和赔偿处理至关重要。
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综上所述，公司车辆发生事故时驾驶员需承担的责任是一个复杂的问题，需要综合考虑多方面因素。在实际操作中，建议各方首先依据交通管理部门出具的事故责任认定书来确定各自的责任和承担方式。同时，公司和驾驶员都应加强交通安全意识培训和管理，确保车辆的安全性能和驾驶员的合规操作，以最大限度地减少事故的发生和责任的承担。