结论：生效判决的连带责任人代偿债务后，可以通过提起新的民事诉讼（即追偿权诉讼）的方式，向其他连带债务人追偿。以下从不同角度详细分析：
一、法律依据与追偿权基础
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，连带责任人的责任份额根据各自责任大小确定；难以确定责任大小的，平均承担责任。实际承担责任超过自己责任份额的连带责任人，有权向其他连带责任人追偿。这一规定为连带责任人代偿债务后向其他连带债务人追偿提供了明确的法律依据。
二、追偿权诉讼的程序
准备诉讼材料：
- 连带责任人需要准备代偿债务的证据，如支付凭证、法院判决书等，以证明其已经实际承担了超出自己责任份额的债务。
- 同时，需要准备其他连带债务人的身份信息、联系方式等，以便法院能够准确送达诉讼文书。
向法院提起诉讼：
- 连带责任人应向有管辖权的人民法院提起诉讼，提交起诉状及相关证据材料。
- 起诉状中应明确列明被告（即其他连带债务人）、诉讼请求（即追偿的金额及利息等）、事实与理由（即代偿债务的事实及法律依据）等。
法院审理与判决：
- 法院在受理案件后，将依法进行审理，包括开庭审理、调查取证、调解等程序。
- 如果法院认为连带责任人的诉讼请求成立，将判决其他连带债务人向其支付相应的款项。
执行判决：
- 如果其他连带债务人未在判决指定的期限内履行支付义务，连带责任人可以向法院申请强制执行。
- 法院将依法采取查封、扣押、拍卖等措施，强制其他连带债务人履行支付义务。
三、追偿权诉讼中的注意事项
诉讼时效：
- 连带责任人应在法定的诉讼时效期间内提起追偿权诉讼，否则将丧失胜诉权。根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。
证据收集与保存：
- 连带责任人应妥善保存代偿债务的证据以及其他与追偿权相关的证据，以便在诉讼中能够充分证明自己的主张。
与其他连带债务人的沟通：
- 在提起诉讼前，连带责任人可以尝试与其他连带债务人进行沟通协商，寻求和解或调解的可能性。如果能够达成和解或调解协议，将有助于节省诉讼成本和时间。
四、特殊情况下的处理
部分连带债务人无法联系或下落不明：
- 如果部分连带债务人无法联系或下落不明，连带责任人仍可以向法院提起诉讼，并申请公告送达诉讼文书。在公告期满后，法院将依法进行缺席审理并作出判决。
其他连带债务人无财产可供执行：
- 如果其他连带债务人无财产可供执行，连带责任人可以在发现其有财产可供执行时随时向法院申请恢复执行。同时，也可以考虑通过其他法律途径（如申请破产等）来维护自己的权益。
建议：在提起追偿权诉讼前，建议连带责任人充分了解相关法律法规和诉讼程序，并咨询专业律师的意见。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。