直属亲属在亲属死亡后，主要享有以下权利：

1. 继承权：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》继承编的相关规定，直属亲属（如配偶、子女、父母）作为第一顺序继承人，有权继承死亡亲属的遗产。
   • 具体内容：继承权包括对遗产的占有、使用、收益和处分的权利。在遗产分割时，直属亲属有权按照法定继承或遗嘱继承的方式，获得其应得的份额。
   • 特殊情况：如果死亡亲属留有遗嘱，且遗嘱内容合法有效，那么遗产将按照遗嘱进行分配。但遗嘱不得剥夺缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的继承权。

2. 知情权：

   • 具体内容：直属亲属有权了解死亡亲属的死亡原因、死亡时间、死亡地点等基本信息。在涉及医疗纠纷或意外事故时，这一权利尤为重要。
   • 行使方式：直属亲属可以通过向医疗机构、公安机关等相关部门查询，或要求相关责任方提供书面说明等方式来行使知情权。

3. 索赔权：

   • 法律依据：如果死亡是由于他人的侵权行为（如交通事故、医疗事故、工伤事故等）导致的，直属亲属有权向侵权人提起索赔诉讼。
   • 索赔范围：索赔范围通常包括死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费、精神损害抚慰金等。具体赔偿项目和标准需根据案件具体情况和当地法律法规来确定。
   • 行使方式：直属亲属可以委托律师或自行向法院提起诉讼，要求侵权人承担相应的赔偿责任。

4. 处理遗产权：

   • 具体内容：除了继承权外，直属亲属还有权处理死亡亲属的遗产，如出售、赠与、抵押等。但这些行为需在继承程序完成后进行，且需遵守相关法律法规的规定。
   • 注意事项：在处理遗产时，直属亲属应确保遗产的合法性和安全性，避免因处理不当而引发纠纷或损失。

5. 其他相关权利：

   • 如参与死亡亲属的丧葬事宜：直属亲属有权参与并决定丧葬方式、地点等事宜，以表达对死亡亲属的哀悼和尊重。
   • 如申请宣告死亡：如果死亡亲属下落不明满一定期限（通常为四年），直属亲属有权向法院申请宣告其死亡，以便处理相关遗产和法律关系。

在行使这些权利时，直属亲属应注意以下几点：

• 及时行使权利：如继承权、索赔权等，应在法定期限内行使，以免因超过时效而丧失权利。
• 保留相关证据：如医疗记录、事故报告、遗嘱等，这些证据在行使权利时可能起到关键作用。
• 咨询专业律师：在涉及复杂法律问题时，直属亲属应咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保障。不过，既然你已经在向我咨询，那么我会尽我所能为你提供专业的法律帮助。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。