空巢老人离世后，其遗产的继承主要依据《中华人民共和国民法典》继承编的相关规定进行，具体继承方式需根据老人是否留有有效遗嘱、法定继承人的范围及顺序等因素综合判断。以下分情况详细说明：

1. 若老人留有有效遗嘱：

   • 遗嘱继承优先：根据《民法典》第一千一百二十三条，继承开始后，有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。这意味着，如果老人在生前通过合法形式（如自书遗嘱、代书遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等）立下了有效遗嘱，并明确了遗产的分配方式，那么遗产将按照遗嘱的内容进行分配。
   • 遗嘱形式要件：需注意，不同形式的遗嘱需满足特定的形式要件才有效。例如，自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年、月、日；代书遗嘱需有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日等。

2. 若老人未留有有效遗嘱或遗嘱无效：

   • 法定继承开始：根据《民法典》第一千一百二十三条，没有遗嘱或遗嘱无效的，按照法定继承办理。法定继承是指由法律直接规定继承人的范围、继承顺序以及遗产分配原则的一种继承方式。
   • 法定继承人范围及顺序：根据《民法典》第一千一百二十七条，法定继承人包括第一顺序继承人（配偶、子女、父母）和第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
   • 遗产分配原则：同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。继承人协商同意的，也可以不均等。

3. 特殊情况处理：

   • 无人继承又无人受遗赠的遗产：根据《民法典》第一千一百六十条，无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。
   • 遗产管理人的指定：根据《民法典》第一千一百四十五条，继承开始后，遗嘱执行人为遗产管理人；没有遗嘱执行人的，继承人应当及时推选遗产管理人；继承人未推选的，由继承人共同担任遗产管理人；没有继承人或者继承人均放弃继承的，由被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会担任遗产管理人。

建议：在处理空巢老人遗产继承问题时，建议继承人之间保持沟通，尽量通过协商达成一致意见。如果协商不成，可以寻求人民调解委员会等第三方机构的调解，或者依法向人民法院提起诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。