关于原私房（这里假设您实际指的是公租房，因为私房的租赁关系通常不涉及政府保障性住房的特殊规定）的租房人死亡后，其家属是否可以续签以及是否合法的问题，这主要取决于家属是否符合公租房的续租条件以及当地的政策规定。以下是对此问题的详细解答：
一、续租条件
共同申请人存在：
- 如果公租房的申请是以家庭为单位，且家庭成员中还有其他符合条件的共同申请人（如配偶、子女等），那么在这些共同申请人仍然符合条件的情况下，他们是有权提出续租申请的。
无其他住房：
- 续租的家庭成员必须没有其他自有住房或未享受其他住房保障政策。这是为了确保公租房资源能够真正用于解决住房困难问题，避免资源浪费。
符合当地规定：
- 具体的续租条件和流程可能因地区而异。不同地区的住房保障政策可能有所不同，因此家属需要咨询当地的住房保障部门或相关机构，了解详细的续租政策和要求。
二、续租流程
提交申请：
- 家属需要在规定的时间内向当地的住房保障部门或相关机构提交续租申请，并提供必要的证明材料，如身份证、户口本、收入证明、无其他住房证明等。
审核材料：
- 相关部门会对提交的申请材料进行审核，核实申请人的身份、收入、住房情况等信息是否符合续租条件。这一步骤是确保续租资格的合法性和公正性。
签订续租合同：
- 如果审核通过，家属需要与相关部门签订续租合同，明确双方的权利和义务，包括租金标准、租赁期限、违约责任等内容。这是保障双方权益的重要法律文件。
三、特殊情况处理
无共同申请人：
- 如果公租房的申请人是单独申请的，且没有符合条件的共同申请人，那么在申请人去世后，其家属通常不能继续租赁该公租房。此时，公租房可能会被收回并重新分配给其他符合条件的申请人。
非共同申请人但符合续租条件：
- 在某些地方政策中，如果家属（如子女）在租房人去世前一直与租房人共同居住在该公租房内，且确实没有其他住房，同时符合公租房的申请条件（如收入、住房情况等），他们有可能在向公租房管理部门提出申请并经过相关审核程序后获得续租资格。但这种情况并非普遍规定，各地执行标准存在差异。
违规行为处理：
- 如果家属在续租过程中存在违规转租、转借等行为，一经查实将立即取消其续租资格，并可能面临相应的法律责任。这是为了维护公租房的公平使用和秩序。
四、建议
- 由于公租房政策在不同地区可能存在差异，因此无法给出统一的续租标准。为了获取最准确的信息和指导，建议家属在租房人去世后及时与当地住房保障管理部门或公租房运营管理单位沟通咨询。
- 在咨询时，应详细说明自己的情况和需求，以便管理部门能够给出针对性的回复和解决方案。
综上所述，原公租房的租房人死亡后，其家属是否可以续签以及是否合法，主要取决于家属是否符合续租条件以及当地的政策规定。为了获取准确的信息和指导，建议及时咨询当地相关部门。