关于供养亲属抚恤金的发放年限，特别是当涉及到父母中一方死亡的情况，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，供养亲属抚恤金的发放起始时间是从工伤职工死亡的次月起开始，这一点是依据《因工死亡职工供养亲属范围规定》来确定的，适用于所有符合条件的供养亲属，包括父母。
接下来，我们重点讨论发放的持续时间，特别是针对父母的情况：
对于父母：
- 抚恤金会从职工因工死亡后开始发放，一直持续到被供养的父母失去供养条件或者死亡时止。
- 失去供养条件通常指的是父母年满一定年龄（如60岁或65岁，具体根据当地政策而定，但一般不是18周岁，这是针对子女的标准）、开始领取养老金、有稳定的收入来源、或者子女已经具备赡养能力等情况。
- 如果父母一直无劳动能力且无其他生活来源，那么抚恤金会持续发放，直至他们去世。
当父母中一方死亡时：
- 如果父母中有一方去世，那么抚恤金的发放不会因此停止对另一方的发放。
- 抚恤金会继续按照原先的标准和条件，发放给仍然在世的、符合供养条件的父母一方。
- 发放的持续时间仍然取决于该方父母是否失去供养条件或者死亡。
此外，还有一些特殊情况需要注意：
- 如果被供养的父母是孤寡老人，抚恤金的标准可能会适当提高，以体现对他们的特别关照。
- 如果供养亲属的资格因为某些原因（如年满一定年龄且未完全丧失劳动能力但已有稳定收入、工亡职工配偶再婚等）而丧失，那么将停止享受抚恤金待遇。但如果之后重新具备供养条件（如配偶再婚后又离婚、父母失去其他生活来源等），经过核实后可以恢复待遇，并补发暂停期间的抚恤金。
最后，需要强调的是，供养亲属抚恤金的支付时间与工伤职工的生存情况、供养亲属的条件变化以及工伤保险的参保情况紧密相关。因此，在具体操作中，应结合实际情况进行判断和处理，确保每一位符合条件的供养亲属都能及时、准确地获得应有的抚恤金待遇。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。