结论前置：公司以行政拘留为由开除员工，在法律上并非必须提供拘留证明，但公司需承担举证责任证明员工确实被行政拘留且该行为严重违反公司规章制度或劳动纪律。
详细分析：
举证责任：
- 在劳动争议中，公司作为用人单位，若主张因员工被行政拘留而解除劳动合同，需承担举证责任。这意味着公司需要提供足够的证据来证明员工确实被行政拘留，并且该行为严重违反了公司的规章制度或劳动纪律。
- 拘留证明是证明员工被行政拘留的直接证据，但并非唯一证据。公司可以通过其他方式，如公安机关的书面通知、员工的自认、相关监控录像等，来证明员工被行政拘留的事实。
规章制度或劳动纪律的依据：
- 公司解除劳动合同的依据通常是员工严重违反公司的规章制度或劳动纪律。因此，公司需要证明其规章制度或劳动纪律中明确规定了被行政拘留属于严重违反的情形。
- 如果公司的规章制度或劳动纪律中没有明确规定，或者规定不明确，公司可能难以仅凭员工被行政拘留就解除劳动合同。
合法性与合理性审查：
- 即使公司提供了拘留证明或其他证据，并证明了员工严重违反了规章制度或劳动纪律，法院或劳动仲裁机构仍会对解除劳动合同的合法性与合理性进行审查。
- 审查内容包括：公司解除劳动合同的程序是否合法、是否给予了员工申辩的机会、解除劳动合同的决定是否合理等。
法律后果：
- 如果公司无法提供足够的证据证明员工被行政拘留且该行为严重违反了规章制度或劳动纪律，或者解除劳动合同的程序不合法、不合理，公司可能面临支付违法解除劳动合同的赔偿金等法律后果。
建议：
- 对于公司：在解除劳动合同前，应确保有充分的证据证明员工被行政拘留且该行为严重违反了规章制度或劳动纪律。同时，应遵循合法的解除程序，给予员工申辩的机会。
- 对于员工：如果公司以行政拘留为由解除劳动合同，员工可以要求公司提供拘留证明或其他证据。如果公司无法提供，员工可以向劳动仲裁机构或法院申请仲裁或提起诉讼，维护自己的合法权益。
示例：
假设某公司员工因违反治安管理规定被公安机关行政拘留5日。公司得知后，欲以该员工被行政拘留为由解除劳动合同。在此情况下，公司应首先收集员工被行政拘留的证据（如公安机关的书面通知、拘留证明等），并审查公司的规章制度或劳动纪律中是否明确规定了被行政拘留属于严重违反的情形。如果公司能够提供充分的证据并证明解除劳动合同的合法性与合理性，那么公司可以解除与该员工的劳动合同。否则，公司可能面临法律风险。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。