结论：公司不能仅因员工不肯提供教育部留服中心认证的学历证明就无偿辞退员工，是否辞退及辞退方式需根据具体情况和法律规定来判断。
分析说明：
学历证明与劳动合同的关系：
- 学历证明通常是员工入职时提供的一种资质证明，用于证明其具备从事特定岗位所需的教育背景。然而，它并非劳动合同的必备条款，除非劳动合同中明确约定了学历作为合同生效或继续履行的条件。
- 如果劳动合同中没有明确约定学历证明是合同的一部分或作为继续履行的条件，那么员工拒绝提供学历证明可能并不构成违约或违反公司规章制度的行为。
公司辞退员工的合法依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司辞退员工需要有合法的依据，如员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等。
- 仅因员工拒绝提供学历证明而辞退员工，通常不符合上述合法辞退的情形。除非公司能够证明学历证明是员工履行岗位职责所必需的，且员工拒绝提供导致公司无法正常安排其工作或造成其他严重后果。
无偿辞退的法律风险：
- 如果公司无偿辞退员工，即未按照法律规定支付经济补偿或赔偿金，员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，要求公司支付相应的经济补偿或赔偿金。
- 此外，公司还可能因违法辞退而面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。
法律建议：
公司方面：
- 在入职时，公司应明确要求员工提供学历证明，并在劳动合同中明确约定学历证明作为合同的一部分或作为继续履行的条件（如果确实需要）。
- 如果员工拒绝提供学历证明，公司应首先与员工进行沟通，了解其拒绝的原因，并尝试通过协商解决问题。
- 如果协商无果，且公司认为学历证明是员工履行岗位职责所必需的，可以考虑根据公司的规章制度或劳动合同的约定，对员工进行相应的处理（如调整岗位、降薪等），但应确保处理方式合法合规。
- 在任何情况下，公司都不应无偿辞退员工，而应按照法律规定支付相应的经济补偿或赔偿金。
员工方面：
- 如果公司要求提供学历证明，员工应积极配合提供。如果确实无法提供（如因丢失、损坏等原因），应及时与公司沟通并说明情况。
- 如果公司因此提出辞退或采取其他不利措施，员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
后续行动：如果您或公司在此方面遇到具体问题，如公司想要辞退员工但不确定是否合法、员工被辞退后想要维权等，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。