结论：员工开自己车公务出差发生事故，责任承担问题需根据具体情况分析，主要包括员工是否存在故意或重大过失、是否属于工伤范畴以及车辆保险情况等多个方面。以下是对这些情况的详细分析：
一、员工责任与雇主责任
员工责任：
- 如果员工在驾驶过程中存在故意或重大过失（如酒驾、超速行驶等），导致事故发生，那么员工可能需要承担相应的法律责任，包括民事赔偿和可能的刑事责任。
- 在这种情况下，雇主可能根据内部规章制度或劳动合同中的约定，对员工进行纪律处分或要求员工承担部分经济损失。
雇主责任：
- 如果员工在执行公务过程中发生事故，且该事故与工作有直接关联，同时员工不存在故意或重大过失，那么根据《工伤保险条例》等相关法律法规，该事故可能被认定为工伤。
- 在工伤情况下，雇主需要承担相应的工伤保险责任，包括支付工伤医疗费用、伤残津贴等。
二、工伤认定与赔偿
工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。
- 员工开自己车公务出差，可以视为在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害，因此有可能被认定为工伤。
工伤赔偿：
- 如果事故被认定为工伤，员工可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金等。
- 雇主需要按照工伤保险的规定，及时为员工申报工伤并支付相应的赔偿。
三、车辆保险与责任承担
车辆保险：
- 如果员工驾驶的车辆购买了相应的保险（如交强险、商业险等），那么在事故发生后，保险公司将按照保险合同的约定承担相应的赔偿责任。
- 保险公司赔偿的范围和限额将根据保险合同的约定来确定。
责任承担：
- 在车辆保险覆盖的情况下，员工和雇主的责任可能会相应减轻。保险公司将承担部分或全部的经济赔偿责任。
- 如果保险赔偿不足以覆盖全部损失，那么剩余部分可能需要由员工或雇主根据具体情况来承担。
四、特殊情况与建议
特殊情况：
- 如果员工在出差过程中违反了公司的规章制度或交通法规，导致事故发生，那么员工可能需要承担更大的责任。
- 如果事故涉及第三方责任（如其他车辆的责任），那么还需要根据具体情况来划分责任并确定赔偿方式。
建议：
- 对于员工而言，在驾驶过程中应严格遵守交通法规和公司规章制度，确保行车安全。
- 对于雇主而言，应建立健全的工伤保险制度，及时为员工申报工伤并支付赔偿。同时，也可以考虑为员工购买额外的商业保险以提供更全面的保障。
- 在事故发生后，应及时报警并保护好现场，以便后续的责任认定和赔偿处理。
总结与进一步行动建议：员工开自己车公务出差发生事故的责任承担问题涉及多个方面，包括员工责任、雇主责任、工伤认定与赔偿以及车辆保险等。在处理此类问题时，建议根据具体情况进行详细分析，并咨询专业律师以获取更准确的法律意见。如果你或你的公司遇到此类问题，可以直接向我咨询，我将根据你的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。