结论：父亲公开表示要给未成年子女断绝关系，这一行为本身并不直接等同于遗弃罪，但是否构成遗弃罪需根据具体行为和后果来判断。
分析说明：
遗弃罪的定义：
- 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。这一定义强调了扶养义务的存在以及拒绝扶养的行为，并且要求情节恶劣。
父亲对未成年子女的扶养义务：
- 根据法律规定，父母对未成年子女负有法定的扶养义务，包括提供生活费、教育费、医疗费等必要费用，以及给予生活上的照料和精神上的关爱。
公开表示断绝关系与遗弃罪的关系：
- 公开表示要断绝关系，并不直接等同于拒绝扶养。要构成遗弃罪，需要父亲有实际的拒绝扶养行为，如停止提供生活费、教育费、医疗费，或者拒绝照料子女的日常生活等，并且这些行为需要达到情节恶劣的程度。
- “情节恶劣”通常指的是由于遗弃行为导致被害人重伤、死亡，或者生活无着、被迫沿街乞讨等严重后果。
可能构成遗弃罪的情形：
- 如果父亲不仅公开表示要断绝关系，而且实际上停止了对未成年子女的扶养，如不再提供生活费、教育费，或者拒绝照顾子女的日常生活，导致子女生活无着、面临严重困难，甚至造成子女重伤、死亡等严重后果的，那么父亲的行为就可能构成遗弃罪。
法律建议：
- 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议首先尝试与父亲进行沟通，了解他的真实意图和想法，并尝试解决可能存在的矛盾和问题。
- 如果沟通无果，且父亲确实存在拒绝扶养未成年子女的行为，您可以考虑向当地公安机关报案，或者向人民法院提起诉讼，要求父亲履行扶养义务。
- 在处理此类问题时，建议咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己和子女的合法权益。
后续行动与注意事项：
- 在采取任何法律行动之前，请确保收集足够的证据来支持您的主张，如父亲拒绝扶养的书面证据、证人证言、相关费用支出凭证等。
- 如果您决定提起诉讼，请准备好相关的法律文件和证据材料，并按照法院的要求进行诉讼程序。
- 在整个过程中，请保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为来解决问题。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。