结论：员工在第一家签订劳动合同，第二家合同终止是否需要赔偿，取决于第二家合同的性质、终止原因以及是否存在法定或约定的赔偿情形。以下从不同角度进行分析：
一、合同性质与终止原因
劳动合同：
- 如果第二家合同也是劳动合同，且终止是由于用人单位的原因（如违法解除、经济性裁员等），那么根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位可能需要支付经济补偿金或赔偿金。
- 经济补偿金的标准通常根据员工在用人单位的工作年限和月工资来确定。例如，工作每满一年支付一个月工资的经济补偿金，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿金。
- 如果用人单位违法解除劳动合同，员工还可以要求支付赔偿金，赔偿金通常是经济补偿金的两倍。
非劳动合同：
- 如果第二家合同并非劳动合同（如劳务合同、承揽合同等），则合同终止的赔偿问题将依据合同的具体约定以及相关法律法规（如《民法典》合同编）来确定。
- 在这种情况下，如果合同中有明确的终止赔偿条款，双方应按照合同约定执行。如果合同没有约定或约定不明确，则可能需要根据实际情况和公平原则来判断是否需要赔偿以及赔偿的金额。
二、法定赔偿情形
- 无论合同性质如何，如果合同终止是由于一方的违法行为或违约行为导致的，受害方都有权要求赔偿。例如，如果用人单位未按照合同约定支付劳动报酬或提供劳动条件，员工有权解除合同并要求赔偿。
- 另外，如果合同终止是由于不可抗力等不可预见、不可避免的原因导致的，双方通常不需要承担赔偿责任。但具体是否免责还需根据合同约定和法律法规来判断。
三、实际操作建议
审查合同：
- 首先，应仔细审查第二家合同的条款，特别是关于合同终止和赔偿的约定。这有助于确定在合同终止时双方的权利和义务。
收集证据：
- 如果认为合同终止是由于对方的违法行为或违约行为导致的，应收集相关证据以支持自己的主张。这可能包括合同文本、通信记录、支付凭证等。
协商与调解：
- 在发生争议时，双方可以尝试通过协商或调解来解决。这有助于节省时间和成本，并维护双方的关系。
法律途径：
- 如果协商和调解无法解决问题，可以考虑通过法律途径来解决争议。这可能包括向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
进一步思考：在实际操作中，合同终止的赔偿问题可能涉及复杂的法律关系和事实认定。因此，在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。