结论：私人工厂没签劳动合同，工作期间生病是否算工伤，不能一概而论，需要结合具体情况来判断。

分析说明：

1. 工伤认定的一般标准：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者患职业病等情形。生病本身并不直接等同于工伤，除非该疾病与工作有直接的因果关系，例如职业病。

2. 未签劳动合同的影响：

   • 未签劳动合同并不影响工伤的认定。即使没有签订劳动合同，只要存在事实劳动关系，且符合工伤认定的条件，员工仍然有权享受工伤保险待遇。关键在于证明存在事实劳动关系，这可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据来证明。

3. 工作期间生病是否构成工伤的具体判断：

   • 如果生病与工作无直接关联：例如，员工因个人原因（如感冒、家庭遗传病等）生病，且该疾病并非由工作环境或工作性质导致，那么这种情况通常不被认定为工伤。
   • 如果生病与工作有直接关联：例如，员工因长期接触有毒有害物质而患上职业病，或者因工作过度劳累导致突发疾病（如心梗、脑溢血等，且这些疾病与工作有直接因果关系），那么这种情况可能被认定为工伤。但需要注意的是，对于突发疾病是否构成工伤，还需要满足一定的条件，如“在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡”等。

特殊场景：

• 在私人工厂工作，未签劳动合同且工作期间生病的情况下，如果员工认为自己的疾病与工作有关，且符合工伤认定的条件，那么应该及时向工厂提出工伤认定申请，并提供相关证据支持自己的主张。如果工厂拒绝认定或不予理会，员工可以向当地劳动保障行政部门申请工伤认定，并寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。

行动建议：

• 收集证据：员工应尽可能收集与工作相关的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、工作照片或视频等，以证明存在事实劳动关系。
• 及时申请工伤认定：如果员工认为自己的疾病与工作有关，且符合工伤认定的条件，应及时向工厂或当地劳动保障行政部门提出工伤认定申请。
• 寻求法律援助：在申请工伤认定或处理工伤赔偿事宜过程中，如果遇到困难或争议，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师以获取专业的法律建议和帮助。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律解答和建议。