结论：自家猫跑出去玩因别人抱它而被咬伤，责任归属需根据具体情况来判断，一般可能涉及猫主人、被咬者或第三方（如挑逗猫的人）的责任。
分析：
猫主人的责任：
- 一般原则：根据《中华人民共和国民法典》中关于动物致人损害的相关规定，动物饲养人或者管理人应当对动物造成的损害承担侵权责任。这意味着，如果猫主人未能妥善管理自己的猫，导致猫跑出去并咬伤他人，猫主人可能需要承担相应的赔偿责任。
- 例外情况：然而，如果猫主人能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，比如被咬者主动挑逗或攻击猫，那么猫主人可以不承担或者减轻责任。
被咬者的责任：
- 自担风险：如果被咬者在抱猫的过程中存在过错，如未经允许擅自抱猫、对猫进行挑逗或攻击等，导致猫出于自卫而咬人，那么被咬者可能需要自行承担部分或全部责任。
- 减轻猫主人责任：在被咬者存在过错的情况下，猫主人的赔偿责任可能会相应减轻。
第三方的责任：
- 挑逗或攻击：如果存在第三方挑逗或攻击猫，导致猫咬伤被咬者，那么第三方可能需要承担一定的责任。这种情况下，猫主人和被咬者都可以根据具体情况向第三方追偿。
建议：
- 猫主人：应加强对猫的管理，确保猫不会随意跑出去。如果猫跑出去并咬伤他人，应积极与被咬者沟通，了解情况并协商赔偿事宜。如果认为被咬者存在过错，可以收集相关证据以减轻自己的责任。
- 被咬者：在抱猫前应征得猫主人的同意，并避免对猫进行挑逗或攻击。如果被猫咬伤，应及时就医并保留相关证据，以便后续维权。
- 第三方：如果因挑逗或攻击猫而导致他人被咬伤，应承担相应的法律责任。建议遵守社会公德和法律法规，不要随意挑逗或攻击动物。
后续行动：
- 如果双方无法就赔偿事宜达成一致，可以考虑通过法律途径解决纠纷。可以收集相关证据（如现场照片、视频、证人证言等）并咨询专业律师（即我，刘彬律师，专注于取保候审、债权债务、侵权纠纷、合同纠纷、刑事辩护、经济纠纷领域），以便更好地维护自己的合法权益。