结论：在未申请终审的情况下，一般不可直接申请检察审理，但存在特定例外情形。以下从一般规定和例外情形两方面进行详细分析：
一般规定
在司法程序中，终审判决是法院对案件作出的最终裁决，具有终局性。通常情况下，当事人对终审判决不服，不能直接向检察机关申请检察审理（即申请抗诉或检察建议等）。这是因为终审判决已经生效，具有法律效力，除非存在法定情形，否则不得随意改变。
例外情形
尽管存在上述一般规定，但在特定情况下，当事人即使未申请终审（或终审判决已作出但存在法定问题），仍可能通过检察机关寻求法律救济。这些情形主要包括：
发现新证据：
- 如果当事人在终审判决后发现了新的证据，且该证据足以推翻原判决，那么根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律的规定，当事人可以向法院申请再审。
- 在申请再审的过程中，如果当事人认为法院的处理不当，可以同时向检察机关申请检察监督，请求检察机关提出抗诉或检察建议。但需注意，这并非直接申请检察审理，而是通过再审程序间接寻求检察机关的介入。
判决存在法定错误：
- 如果终审判决存在《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条等规定的法定错误（如适用法律确有错误、审判人员审理案件时有贪污受贿等行为），当事人可以向法院申请再审。
- 同样，在申请再审的过程中，当事人可以向检察机关申请检察监督。检察机关在审查后，如果认为判决确实存在法定错误，可以提出抗诉或检察建议。
直接向检察机关申请监督的特定情形：
- 在某些特殊情况下，如当事人认为审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为，且这些行为已经严重影响到了案件的公正审理，当事人可以直接向检察机关申请监督。
- 但这种情况下的“申请监督”并不等同于“申请检察审理”，且需要满足严格的法定条件。检察机关在审查后，如果认为确实存在上述行为，可以提出抗诉或检察建议。
法律建议
- 了解程序规定：在寻求法律救济前，当事人应充分了解相关司法程序的规定，包括再审程序、检察监督程序等，以便选择合适的救济途径。
- 准备充分证据：如果当事人认为判决存在错误或发现了新证据，应准备充分的证据材料以支持其主张。
- 及时咨询律师：由于司法程序复杂且专业性强，当事人在寻求法律救济时应及时咨询专业律师的意见，以确保其权益得到有效维护。
进一步思考：在司法实践中，当事人对终审判决不服时，应首先考虑通过再审程序寻求救济。如果再审程序无法解决问题或当事人认为判决存在严重错误，再考虑向检察机关申请监督。同时，当事人也应注意保护自己的合法权益，避免因程序不当而丧失救济机会。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。