关于教师长期病假到期遇到寒暑假是否能销假的问题，这主要取决于学校的具体请假销假制度以及相关法律法规的规定。以下是我根据一般情况和您提供的参考信息给出的详细解答：

首先，我们需要明确的是，病假和寒暑假是两种不同的假期类型。病假是教师因身体原因需要休息治疗而申请的假期，而寒暑假则是学校根据教学安排和教师工作特点设定的固定假期。

1. 病假到期与销假：

   • 当教师的长期病假到期时，如果身体已经恢复，能够正常工作，那么应该按照学校的请假销假制度，及时办理销假手续，恢复工作。
   • 如果病假到期但身体仍未恢复，需要继续休息治疗，那么教师应该根据学校的规定，提供相应的医疗证明，申请延长病假或按照学校的其他相关规定处理。

2. 病假遇到寒暑假：

   • 寒暑假是学校设定的固定假期，与病假无关。因此，病假到期遇到寒暑假，并不能直接将病假转为寒暑假或利用寒暑假来“销”病假。
   • 如果教师在病假期间遇到寒暑假，且病假尚未到期，那么教师应该继续享受病假待遇，直到病假到期。
   • 如果病假在寒暑假期间到期，且教师身体已经恢复，那么教师应该在寒暑假结束后，按照学校的规定办理销假手续，恢复工作。如果寒暑假期间学校有特殊安排或需要教师提前返校，那么教师应该根据学校的通知和要求来处理。

3. 学校具体规定：

   • 不同的学校可能有不同的请假销假制度。因此，教师在处理病假和寒暑假相关问题时，应该首先查阅自己所在学校的具体规定。
   • 根据您提供的参考信息，河口一中和博山区实验小学都有详细的请假销假制度，包括病假的申请、审批、待遇以及销假手续等。教师可以根据自己所在学校的制度来处理相关问题。

4. 法律法规依据：

   • 教师在处理请假问题时，还应该遵守相关的法律法规，如《职工带薪年休假条例》等。这些法律法规对教师的假期权益、请假程序等都有明确规定。

综上所述，教师长期病假到期遇到寒暑假并不能直接销假。教师应该根据自己所在学校的具体请假销假制度以及相关法律法规的规定来处理相关问题。如果身体已经恢复，应该在病假到期后及时办理销假手续并恢复工作；如果身体仍未恢复，需要继续休息治疗，则应该按照学校的规定申请延长病假或处理其他相关事宜。