受伤当天存在劳动关系并不一定就能被确认为工伤，这主要取决于伤害是否满足《工伤保险条例》中规定的工伤认定条件。以下是对此问题的详细分析：

一、工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这是工伤认定的核心条件，即“三工原则”：工作时间、工作地点、工作原因。例如，工厂工人在车间操作机器时因机器故障导致身体受伤，这种情况就符合工伤认定的基本条件。

二、不构成工伤的特殊情况

尽管存在劳动关系且在工作时受伤，但以下情况通常不被认定为工伤：

1. 故意犯罪导致的伤害：如果职工在工作中因故意犯罪而受到伤害，如自残或自杀（除非是为了逃避工作而伪装），则不构成工伤。
2. 醉酒或吸毒导致的伤害：职工在工作期间因醉酒或吸毒而发生的伤害，也不被认定为工伤。
3. 自残或自杀行为：这些行为明显不是由于工作原因导致的，因此不符合工伤的定义。
4. 非工作原因导致的意外伤害：例如，职工在工作时间内从事与工作无关的活动（如私自外出、嬉戏打闹等）而受到的伤害，或者因个人恩怨、感情纠葛等原因引发的暴力伤害，都不属于工伤范畴。
5. 违反治安管理规定的伤害：职工因违反治安管理规定（如打架斗殴）而受到的伤害，同样不构成工伤。
6. 上下班途中的特定情形：虽然上下班途中发生的事故在一定条件下可能被视为工伤，但如果事故并非由交通事故引发，或者交通事故并非主要责任方（如职工无证驾驶、酒驾等），则通常不被认定为工伤。
7. 其他非工作相关因素导致的伤害：如突发疾病但并非在工作时间和工作岗位上，或者与工作压力、工作环境无直接关联的疾病发作等。

三、工伤认定的程序与注意事项

当职工认为其受伤符合工伤条件时，应及时向用人单位报告，并由用人单位在规定时间内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。社会保险行政部门将根据相关法律法规和事实情况进行调查核实，并作出是否认定为工伤的决定。

注意事项：

• 及时报告：职工受伤后应尽快向用人单位报告，以便用人单位及时采取措施并申请工伤认定。
• 保留证据：职工应保留与受伤相关的证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以便在工伤认定过程中提供证明。
• 了解程序：职工应了解工伤认定的程序和要求，以便在需要时能够积极配合并维护自己的合法权益。

四、实际案例与启示

假设某职工在工作时间和工作场所内，因操作机器不当导致手指受伤。如果该职工与用人单位存在劳动关系，且受伤是由于工作原因导致的，那么该职工的情况就符合工伤认定的基本条件。然而，如果该职工在受伤时处于醉酒状态，或者受伤是由于个人疏忽大意导致的非工作原因伤害，那么该职工的情况就可能不被认定为工伤。

总结与建议：

受伤当天存在劳动关系并不一定就能被确认为工伤。要被认定为工伤，还需满足具体的法定条件和情形。因此，在实际操作中，职工应仔细审查自己的受伤情况，确保符合工伤认定的条件。如果职工对工伤认定有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。