结论前置：离婚半年后，一方仍然有权起诉要求变更孩子的抚养权或要求对方支付抚养费。这主要基于子女的最大利益和双方的实际情况，可以通过协商或诉讼的方式来实现。
一、关于变更抚养权
法律依据与原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，抚养权的归属并非一成不变，而是会根据父母双方及孩子的具体情况变化而调整。法律允许在离婚后的一段时间内，如有充分理由和证据支持变更抚养权的请求，可以向法院提起诉讼。
变更抚养权的条件：
- 对方无力抚养：如果与子女共同生活的一方因患严重疾病或伤残无力继续抚养子女，另一方可以提出变更抚养权。
- 对方抚养不利：如果与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其抚养对子女身心健康有不利影响，另一方也可以提出变更。
- 孩子意愿：已满八周岁的子女愿随另一方生活，且该方有抚养能力，法院会尊重孩子的真实意愿。
- 其他正当理由：如工作变动导致无法亲自照顾孩子等，也可以作为变更抚养权的理由。
操作建议：
- 收集证据：根据法定情形，收集充分的证据来支持你的主张，如医院诊断证明、报警记录、孩子受伤照片、证人证言等。
- 尊重孩子意愿：如果孩子已满八周岁，应与孩子良好沟通，了解他们的想法和感受，并尊重孩子的意愿。
- 提起诉讼：向法院提起诉讼，详细阐述要求变更抚养权的合理原因和事实依据，以便法院能够根据具体情况进行审理并作出公正判决。
二、关于要求支付抚养费
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。同时，该条款还规定，前款所述的协议或判决不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过原定数额的合理要求。
具体分析：
- 以子女名义起诉：若直接抚养孩子的一方在经济上出现困难，或孩子的实际需求有所增加（如教育、医疗等费用增加），子女作为实际利益的相关方，有权以自己的名义向未直接抚养的一方主张抚养费。
- 以自身名义起诉：直接抚养孩子的一方也可以基于自身经济状况的变化或孩子生活成本的上升等合理理由，以自己的名义向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。
操作建议：
- 详细阐述理由：在起诉时，必须向法院详细阐述要求对方支付抚养费的合理原因和事实依据，如经济收入减少、孩子教育或医疗费用增加等。
- 提供证据：收集并整理相关证据，如收入证明、医疗费用单据、教育费用单据等，以支持你的诉求。
三、综合建议
- 保持冷静和理性：争夺抚养权或要求支付抚养费是一个复杂而敏感的过程，需要保持冷静和理性，避免情绪化的争吵和冲突。
- 注重孩子身心健康：无论结果如何，都应尊重法律和法院的判决，为孩子创造一个健康、快乐的成长环境。父母的爱和支持是孩子成长过程中最重要的力量。
- 及时咨询：如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。
总之，离婚半年后仍然有可能通过法律途径来变更抚养权或要求对方支付抚养费。关键在于你是否能提供充分的证据证明你的诉求是合理且必要的，并符合法律规定的变更情形。