结论：公司当天辞退员工是否合法，主要取决于辞退的理由、程序以及是否符合相关法律法规的规定。在一般情况下，若公司未按照法定程序或未给出合法理由即当天辞退员工，则可能构成违法辞退；但在特定情形下，如员工存在严重过错或双方协商一致，则可能是合法的。
一、一般情况下的法律规定与辞退程序
根据《劳动合同法》的相关规定，公司辞退员工需要遵循一定的程序和理由。具体而言：
合法辞退理由：公司辞退员工必须基于合法的理由，如员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等。若公司无法提供合法理由即辞退员工，则可能构成违法辞退。
辞退程序：即使公司有合法辞退理由，也需要按照法定程序进行辞退。这通常包括提前通知员工、与员工进行协商、支付经济补偿金（如适用）等步骤。若公司未按照法定程序进行辞退，如当天突然辞退且未提前通知，则可能构成违法辞退。
二、特定情形下的合法性
然而，在某些特定情形下，公司当天辞退员工可能是合法的：
员工存在严重过错：如员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等，公司有权立即辞退员工，且无需提前通知或支付经济补偿金。
双方协商一致：如果公司与员工就辞退事宜达成一致意见，且双方均同意当天辞退，那么这种行为也是合法的。这体现了民事合同中的意思自治原则，即只要双方自愿且不违反法律法规的强制性规定，即可达成有效协议。
三、违法辞退的法律后果
若公司违法辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于员工在公司的工作年限、工资水平等因素。具体而言，根据《劳动合同法》的规定，公司违法辞退员工的，应当按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准则根据员工在公司的工作年限和月工资水平来确定。
四、实际应用中的建议
对于公司而言：在辞退员工时，务必确保有合法理由并按照法定程序进行。若员工存在严重过错，应及时收集证据并按照公司规章制度进行处理；若需协商辞退，应与员工进行充分沟通并达成一致意见。
对于员工而言：若遭遇公司违法辞退，应及时收集证据并咨询专业律师以维护自己的合法权益。员工可以要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金，并可以通过劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的权益。
作为许方强律师，我建议你在面对公司辞退问题时，务必保持冷静并了解自己的权益和义务。若你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。