是的，长期支付义务在首次执行时履行，终本后未履行的情况下，通常可以申请恢复执行。以下是对这一问题的详细分析：

一、恢复执行的基本概念

恢复执行是指在执行程序因某种原因（如被执行人暂无财产可供执行、双方达成和解协议等）而中止或终结后，因特定条件成就（如发现被执行人有新的可供执行财产、被执行人未履行和解协议等），申请执行人再次向法院申请恢复原执行程序的行为。

二、长期支付义务与恢复执行的关系

1. 长期支付义务的特点：长期支付义务通常涉及一系列连续的支付行为，如分期付款、定期支付等。这类义务的特点在于其履行期限较长，且可能因各种原因（如被执行人经济状况变化、双方协商变更支付方式等）而出现履行障碍。

2. 首次执行与终本：在长期支付义务的执行过程中，如果首次执行时被执行人履行了部分或全部义务，但后续因故未能继续履行，且法院因被执行人暂无财产可供执行等原因裁定终结本次执行程序（终本），这并不意味着执行程序的彻底终结。

3. 恢复执行的条件：当发现被执行人有新的可供执行财产，或者被执行人未履行和解协议等特定条件成就时，申请执行人可以向法院申请恢复执行。在长期支付义务的情境下，如果终本后被执行人仍未履行剩余义务，且申请执行人能够提供被执行人新的可供执行财产线索或证明被执行人未履行和解协议等，即可申请恢复执行。

三、申请恢复执行的流程与注意事项

1. 提交申请：申请执行人需向法院提交恢复执行申请书，并附上相关证据材料，如被执行人新的可供执行财产线索、被执行人未履行和解协议的证明等。

2. 法院审查：法院将对申请执行人的申请进行审查，核实相关证据材料的真实性和合法性。如果审查通过，法院将裁定恢复执行。

3. 执行程序：恢复执行后，法院将按照原执行程序继续执行，包括查封、扣押、拍卖被执行人的财产等措施，以强制被执行人履行义务。

4. 注意事项：

   • 申请执行人应密切关注被执行人的财产状况变化，及时提供新的可供执行财产线索。
   • 在申请恢复执行前，申请执行人应确保已充分了解被执行人的履行能力和意愿，避免盲目申请导致执行成本增加。
   • 如果被执行人确实无财产可供执行，申请执行人可以考虑与被执行人协商达成新的和解协议，或者通过其他法律途径（如申请破产等）来维护自己的权益。

四、特殊情况下的处理

如果长期支付义务涉及的是特定类型的合同（如租赁合同、借款合同等），且合同中有关于执行程序的特别约定（如仲裁条款、管辖法院等），申请执行人在申请恢复执行时还需注意遵守这些特别约定。

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