结论：当公司派往其他公司担任董事的人员不再继续履职时，公司应依据《公司法》及相关规定，及时采取措施进行董事的变更或免职，并办理相应的工商变更登记手续。以下是具体分析和操作建议：
一、法律背景与依据
根据《公司法》的相关规定，董事的选举和更换通常由公司股东会或董事会决定。当公司派往其他公司担任董事的人员因各种原因（如辞职、解聘等）不再继续履职时，原派遣公司作为股东或相关方，有权也有义务按照法定程序进行董事的变更或免职。
二、操作建议
内部决策程序：
- 召开股东会或董事会：首先，原派遣公司应召开股东会或董事会，就董事的变更或免职事项进行审议和表决。这是确保决策合法性和有效性的关键步骤。
- 形成决议：在股东会或董事会上，应形成关于董事变更或免职的书面决议，明确记载变更或免职的原因、时间、新任董事人选（如有）等关键信息。
通知被免职董事及目标公司：
- 书面通知：原派遣公司应向被免职的董事发出书面通知，告知其已被免职，并说明免职的原因和依据。
- 通知目标公司：同时，原派遣公司还应向目标公司（即被派遣董事所任职的公司）发出书面通知，告知其董事变更或免职的情况，并提供相关决议文件。
办理工商变更登记：
- 提交材料：根据目标公司所在地的工商行政管理部门的要求，原派遣公司或目标公司应准备并提交董事变更或免职的相关材料，包括但不限于股东会或董事会决议、被免职董事的辞职报告（如有）、新任董事的任职文件等。
- 完成登记：工商行政管理部门在审核材料无误后，将办理董事变更或免职的工商变更登记手续，并更新目标公司的企业信息公示系统中的相关信息。
三、注意事项
- 确保程序合法合规：在整个董事变更或免职过程中，原派遣公司应确保所有程序均符合《公司法》及相关法律法规的规定，避免因程序瑕疵而引发法律纠纷。
- 保护被免职董事的合法权益：虽然被免职董事不再继续履职，但原派遣公司仍应尊重其合法权益，如按照公司章程或劳动合同的规定支付相应的经济补偿（如有）。
- 及时沟通与协调：在董事变更或免职过程中，原派遣公司应与目标公司保持密切沟通与协调，确保变更或免职事项的顺利进行，并避免对目标公司的正常运营造成不利影响。
四、可能面临的法律后果
如果原派遣公司未按照法定程序进行董事的变更或免职，或者未及时办理工商变更登记手续，可能会面临以下法律后果：
- 行政处罚：工商行政管理部门可能对原派遣公司或目标公司进行行政处罚，如罚款、责令改正等。
- 民事纠纷：被免职董事可能因未得到合法通知或补偿而提起民事诉讼，要求原派遣公司承担相应的法律责任。
- 影响公司信誉：不规范的董事变更或免职程序可能影响原派遣公司或目标公司的商业信誉和形象。
因此，建议公司在处理此类事项时务必谨慎、合规，并咨询专业律师的意见以确保操作的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。