结论：立案后没有逃避侦查且没有实施新的犯罪的案件，其追诉时效的处理需结合法律规定与司法实践综合考量。若案件已超过法定追诉时效，且不存在特殊情形，则原则上不应再追究犯罪嫌疑人的刑事责任。但若存在特殊情形，如犯罪行为社会危害性极大，经最高人民检察院核准，仍可追诉。
法律规定与解析
追诉时效的一般规定：
- 根据《刑法》第八十七条，犯罪经过一定期限后将不再被追诉。这一期限依据法定最高刑的不同而有所差异，具体为：
- 法定最高刑为不满五年有期徒刑的，追诉期限为五年；
- 法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，追诉期限为十年；
- 法定最高刑为十年以上有期徒刑的，追诉期限为十五年；
- 法定最高刑为无期徒刑、死刑的，追诉期限为二十年。若二十年后认为必须追诉，需报请最高人民检察院核准。
立案后不受追诉期限限制的情形：
- 根据《刑法》第八十八条，立案后，若犯罪嫌疑人逃避侦查或审判，则不受追诉期限的限制。但本题中明确犯罪嫌疑人未逃避侦查，因此这一情形不适用。
- 同样根据该条款，若被害人在追诉期限内提出控告，且司法机关应当立案而未立案，也不受追诉期限的限制。但这一情形与本题无关，因为本题讨论的是立案后的情况。
立案后未逃避侦查的追诉时效处理：
- 在立案后，若犯罪嫌疑人未逃避侦查，且案件未超过法定追诉时效，则司法机关应依法追究其刑事责任。
- 若案件已超过法定追诉时效，且不存在上述不受追诉期限限制的特殊情形，则原则上不应再追究犯罪嫌疑人的刑事责任。这是为了体现法律的公正性和人文关怀，避免犯罪嫌疑人长期处于不确定的被追诉状态。
司法实践意义
- 督促司法机关效率：追诉时效的规定促使司法机关及时、有效地开展侦查工作，避免案件久拖不决。对于立案后未逃避侦查的案件，司法机关应尽快完成侦查、起诉和审判程序，以确保案件在追诉时效内得到处理。
- 保障嫌疑人权益：对于未逃避侦查的犯罪嫌疑人，经过一定期限后不再被追诉，体现了法律的公正与人文关怀。这有助于保护犯罪嫌疑人的合法权益，避免其因长期处于被追诉状态而遭受不必要的心理压力和经济损失。
实例分析
以甲某涉嫌盗窃案为例，假设甲某涉嫌的盗窃犯罪法定最高刑为三年有期徒刑。公安机关于2020年1月立案侦查，且甲某积极配合调查，没有逃避侦查行为。根据追诉时效的一般规定，该案的追诉期限为五年，即到2025年1月。若在此期间内，司法机关未能完成侦查、起诉和审判程序，且不存在特殊情形（如犯罪行为社会危害性极大等），则到2025年1月后，原则上不应再追究甲某的刑事责任。
特殊情况处理
- 即使案件超过了追诉时效期限，如果侦查机关在侦查过程中发现证据确凿、事实清楚，且犯罪行为社会危害性极大（如涉及严重危害国家安全、公共安全等恶劣案件），仍然可以依法将案件移送审查起诉，并报请最高人民检察院核准追诉。这是为了维护社会公共利益和法律秩序的稳定。
综上所述，立案后没有逃避侦查且没有实施新的犯罪的案件，在追诉时效上的处理需严格遵循法律规定，并结合司法实践中的具体情况进行综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。