结论：判决中原告去世后一年多的赡养费和医药费，原则上应支付给原告的继承人，具体处理方式需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系分析
赡养费和医药费的性质：
- 赡养费和医药费是原告基于赡养关系或侵权关系等法律关系应获得的权益。在原告去世后，这些权益并不会自动消失，而是会转化为原告的遗产或应由相关责任人继续承担的义务（在医药费涉及侵权赔偿等情形下）。
继承法的适用：
- 根据《中华人民共和国民法典》继承编的相关规定，原告去世后，其遗产（包括应获得的赡养费和医药费等财产性权益）应由其继承人继承。继承人包括配偶、子女、父母等第一顺序继承人，以及兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等第二顺序继承人。
二、具体处理方式
赡养费的处理：
- 如果赡养费是判决中明确规定的、原告在世时应获得的定期支付款项，那么在原告去世后，尚未支付的赡养费应作为原告的遗产，由其继承人继承。继承人可以依据判决和继承法的规定，向赡养义务人主张支付剩余的赡养费。
医药费的处理：
- 医药费的处理需根据具体情况判断。如果医药费是原告因侵权行为（如交通事故、医疗事故等）而产生的，且判决中明确了侵权人的赔偿责任，那么在原告去世后，尚未支付的医药费仍应由侵权人承担。此时，原告的继承人可以依据判决和侵权责任法的规定，向侵权人主张支付剩余的医药费。
- 如果医药费是原告因自身疾病而产生的，且判决中明确了由特定责任人（如子女、配偶等）承担部分或全部医药费，那么在原告去世后，尚未支付的医药费应由该责任人继续承担。但需注意，如果责任人同时也是原告的继承人，且医药费支出已超出其应继承的遗产份额，那么可能需要根据实际情况进行协商或诉讼解决。
三、特殊情况考虑
赡养义务人与继承人的重合：
- 在某些情况下，赡养义务人可能同时也是原告的继承人。此时，如果赡养费尚未支付，且赡养义务人愿意继续履行赡养义务（尽管原告已去世），那么双方可以协商处理。但通常情况下，赡养费会作为遗产由其他继承人继承。
判决的执行与变更：
- 如果判决已经生效但尚未执行完毕，且原告在执行过程中去世，那么执行程序可能会中止或终结。此时，继承人需要向法院申请变更执行申请人或重新启动执行程序（如果适用）。同时，如果判决内容需要变更（如赡养费金额的调整等），继承人也需要通过法律途径进行申请。
四、建议与注意事项
及时沟通与协商：
- 在处理此类问题时，建议继承人之间以及继承人与赡养义务人、侵权人等之间及时沟通与协商，以达成共识并避免不必要的纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果继承人之间无法达成共识或遇到复杂的法律问题，建议及时咨询专业律师（如我）以获取法律帮助和指导。
保留相关证据：
- 继承人应妥善保留与赡养费、医药费相关的判决文书、支付凭证、医疗记录等证据材料，以便在需要时进行主张或辩护。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。