在涉及法定不起诉决定后，公安机关的处理方式是一个严谨且遵循法律程序的过程。以下是对这一问题的详细解答：

首先，我们需要明确法定不起诉的含义：它指的是案件没有犯罪事实，或者依法不应追究刑事责任的情况。当人民检察院作出法定不起诉决定后，公安机关会收到相应的不起诉决定书。

公安机关的具体处理步骤如下：

1. 立即释放在押嫌疑人：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，一旦收到不起诉决定书，如果犯罪嫌疑人仍在押，公安机关必须立即办理释放手续，恢复其人身自由。这是保障犯罪嫌疑人合法权益的重要步骤。

2. 撤销案件或终止侦查：

   • 公安机关在确认不起诉决定后，会撤销案件或对犯罪嫌疑人终止侦查。这是因为法定不起诉意味着案件没有犯罪事实或依法不应追究刑事责任，因此无需继续侦查或提起公诉。

3. 书面通知相关人员和单位：

   • 公安机关会书面通知被害人及其近亲属或其诉讼代理人，以及被不起诉人所在单位，告知他们不起诉的决定。这是保障相关人员知情权的重要措施。

4. 配合后续处理：

   • 如果人民检察院提出检察意见，认为需要对被不起诉人给予行政处罚、处分或没收违法所得，公安机关会配合有关主管机关进行处理，并将处理结果及时通知人民检察院。这是确保法律制裁的连贯性和有效性的重要环节。

5. 对涉案财物的处理：

   • 对于在侦查过程中查封、扣押、冻结的财物，公安机关会在接到不起诉决定后解除查封、扣押、冻结。同时，对被害人的合法财产会及时返还，对违禁品或不宜长期保存的物品会依照国家有关规定处理。

6. 复议与复核权利：

   • 如果公安机关认为不起诉决定有错误，可以在收到不起诉决定书后7日内制作要求复议意见书，并移送作出不起诉决定的人民检察院复议。如果对复议决定仍不服，还可以在收到复议决定书后7日内提请上一级人民检察院复核。这是保障公安机关合法权益和监督人民检察院决定的重要机制。

综上所述，公安机关在处理法定不起诉决定时，会严格遵守相关法律法规和程序要求，确保案件处理的公正性、合法性和有效性。同时，公安机关也会积极配合人民检察院和其他相关部门的工作，共同维护社会的公平正义和法律秩序。