结论：在特定情况下，公司确实有权对擅自离职的员工提起诉讼，但需遵循法定程序并确保行为的合法性与合规性。以下是对这一问题的详细分析：
一、公司可起诉擅自离职员工的情形
违反服务期或竞业限制约定：
- 若公司与员工签订了专项培训协议并约定了服务期，员工擅自离职将构成违约。公司可以依据《劳动合同法》起诉员工，要求其支付违约金，但违约金数额不得超过未履行服务期部分所应分摊的培训费用。
- 若员工与公司签订了竞业限制协议，并在离职后违反了该协议，给公司造成损失，公司同样有权起诉员工，要求其承担违约责任并赔偿损失。
造成经济损失：
- 员工擅自离职若给公司造成了直接经济损失，如业务中断、客户流失等，且公司能够证明这些损失与员工离职行为之间存在因果关系，那么公司可以通过法律途径要求员工赔偿损失。
违法解除劳动合同：
- 擅自离职属于违法解除劳动合同的行为，违反了《劳动合同法》中关于劳动者应提前三十日以书面形式通知用人单位的规定。公司可以基于这一点，在符合法定程序的前提下，通过法律手段追究员工的责任。
二、公司难以起诉或不建议起诉的情况
- 单纯的解除劳动关系：如果员工只是单纯地擅自离职，没有涉及上述违约、造成损失或违法解除劳动合同等情形，公司起诉要求员工继续履行劳动合同在司法实践中往往难以得到支持。因为劳动雇佣关系具有人身属性，强制员工继续工作较难执行，且可能影响工作氛围和效率。
三、公司的权利与救济途径
内部处理：
- 在决定起诉之前，公司应先通过内部程序进行处理，如发出返岗通知、要求员工办理离职手续等。若员工不予配合，再考虑采取法律手段。
劳动仲裁前置：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，劳动争议应先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，才可以向人民法院提起诉讼。因此，公司在起诉前需确保已经经过了劳动仲裁程序。
证据收集：
- 公司在处理擅自离职员工时，应积极收集证据，包括员工的擅自离职行为、该行为给公司造成的实际损失以及相关的书面材料（如劳动合同、培训协议、竞业限制协议等）。这些证据将在后续的劳动仲裁和诉讼中起到关键作用。
四、实际操作建议
- 合法合规：公司在处理擅自离职员工时，应确保自身行为的合法性和合规性，避免采取过激或违法的手段。
- 重视预防：除了事后处理外，公司还应加强员工管理，完善劳动合同和规章制度，预防擅自离职等违法行为的发生。例如，可以在劳动合同中明确约定擅自离职的违约责任和赔偿方式，以及提前通知期的具体要求等。
举例说明：假设某员工与公司签订了为期三年的服务期协议，并接受了公司提供的专项培训。然而，在服务期内，该员工未经公司同意擅自离职。此时，公司可以依据服务期协议和《劳动合同法》的相关规定，起诉该员工要求其支付未履行服务期部分的违约金。
后续行动建议：如果你作为公司方，遇到员工擅自离职的情况，建议先通过内部程序进行处理，并积极收集相关证据。若内部处理无果且符合起诉条件，再考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。如果你作为员工方，对擅自离职的法律后果有疑问或担心被公司起诉，也可以直接向我咨询相关法律问题。