针对您提出的“代驾司机出事故公司不管怎么处理”的问题，这确实是一个涉及法律责任和服务合同的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，当代驾司机在执行代驾任务过程中发生交通事故，且该事故是由代驾司机的过错导致时，代驾公司通常是需要承担相应责任的。这是因为代驾公司对代驾司机的代驾资格进行审核，要求代驾司机遵守其制订的行为规范，并根据公司制订的标准收取代驾费用。代驾司机的驾驶行为，在本质上属于执行工作任务的行为。
根据《民法典》的相关规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权损害赔偿责任。这意味着，即使代驾司机并未与代驾公司之间成立传统意义上的劳动关系，并非代驾公司的正式员工，但只要代驾司机是在执行代驾任务过程中发生的交通事故，代驾公司作为服务提供方，仍然需要承担相应的法律责任。
在您遇到的具体情况中，如果代驾司机出了事故而代驾公司不愿意承担责任，您可以采取以下步骤来维护自己的权益：
收集证据：首先，您需要收集所有与事故相关的证据，包括事故责任认定书、车辆维修凭证、医疗票据（如果有人员受伤）、代驾服务订单截图等。这些证据将有助于您后续与代驾公司协商或提起诉讼时证明自己的权益。
与代驾公司沟通：在收齐证据后，您可以再次与代驾公司沟通，明确告知他们您的损失和诉求，并要求他们承担相应的赔偿责任。在沟通过程中，您可以引用《民法典》的相关规定来支持自己的观点。
寻求法律援助：如果代驾公司仍然不愿意承担责任，您可以考虑寻求法律援助。您可以咨询专业的律师或法律服务机构，了解自己的法律权益和可行的维权途径。他们可以帮助您起草法律文书、准备诉讼材料，并代表您与代驾公司进行协商或提起诉讼。
提起诉讼：如果协商无果，您可以向法院提起诉讼，要求代驾公司承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交所有收集到的证据，并证明代驾司机是在执行代驾任务过程中发生的交通事故，以及该事故给您造成了损失。
最后，我想提醒您的是，在选择代驾服务时，一定要选择资质齐全的正规代驾公司，并妥善留存服务凭证，如订单截图、发票等。这样，在不幸发生事故时，您才能更好地维护自己的权益。同时，也建议您按时为车辆投保交强险等必要的保险，以降低因事故带来的经济风险。