结论：劳务派遣公司和劳动者签订了劳务合同，但劳动者受伤能否构成工伤，关键在于双方是否构成劳动关系。若构成劳动关系，则劳动者受伤可以依法申请并认定为工伤；若仅为劳务关系，则不适用工伤认定程序，但可能根据过错程度承担相应赔偿责任。

一、劳动关系下的工伤认定

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位作为用人单位，与劳动者建立劳动关系，需履行对劳动者的相关义务，包括缴纳工伤保险费。
   • 《工伤保险条例》明确指出，职工因工作原因受伤或患职业病，经工伤认定后享受工伤保险待遇。

2. 责任主体：

   • 劳务派遣单位作为用人单位，承担工伤保险责任，包括为员工缴纳工伤保险费及在员工受伤时申请工伤认定。
   • 用工单位在实际使用派遣员工过程中，若存在过错导致员工受伤，可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。

3. 工伤认定流程：

   • 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 若劳务派遣单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在一年内直接向社会保险行政部门提出申请。
   • 申请材料包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料以及医疗机构出具的诊断证明书或职业病诊断书。

4. 工伤保险责任承担：

   • 已缴纳工伤保险的，大部分工伤保险待遇由工伤保险基金支付，劳务派遣单位负责支付停工留薪期内的工资福利等。
   • 未缴纳工伤保险的，所有原本应由工伤保险基金支付的费用将由劳务派遣单位承担。

二、劳务关系下的责任承担

1. 法律关系：

   • 若劳务派遣公司与劳动者之间仅为劳务关系，而非劳动关系，则不适用工伤认定程序。

2. 责任承担：

   • 在此情形下，双方的责任根据各自过错程度来确定。如劳务公司提供的工作条件或安全保障措施存在过错，或实际用工公司在接受劳务过程中有过错，均应承担相应的赔偿责任。

三、具体情形分析与建议

1. 核实劳动关系：

   • 劳动者应首先核实自己与劳务派遣公司之间是否构成劳动关系，这通常通过劳动合同、工资支付记录、社保缴纳记录等证据来证明。

2. 及时申请工伤认定：

   • 若构成劳动关系，劳动者或其近亲属应在规定时间内向社会保险行政部门提出工伤认定申请，以确保自身权益得到保障。

3. 保留证据与寻求帮助：

   • 无论何种情况，劳动者都应妥善保留与受伤相关的所有证据材料，如医疗记录、现场照片、证人证言等。
   • 如遇复杂情况或争议，劳动者可以直接向我咨询，以获取更具体的法律帮助。

总结：劳务派遣公司和劳动者签订了劳务合同，但劳动者受伤能否构成工伤，取决于双方是否构成劳动关系。在劳动关系下，劳动者有权申请工伤认定并享受相应的工伤保险待遇；在劳务关系下，则根据过错程度承担相应赔偿责任。劳动者应核实自己的劳动关系状态，并在受伤后及时采取措施保护自己的权益。