结论：农村狗狗被撞死且司机逃逸，涉及的法律问题主要包括动物侵权责任和交通肇事逃逸的法律责任。以下从这两个方面进行详细分析。
一、动物侵权责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。虽然此条款直接针对的是动物造成他人损害的情况，但类比推理，若动物因他人行为（如交通事故）受损，动物饲养人或管理人同样有权要求侵权人承担相应责任。
责任承担：
- 在本案例中，狗狗被撞死，司机作为侵权人，应当承担赔偿责任。赔偿范围通常包括狗狗的市场价值、饲养成本（如疫苗费用、食物费用等）以及因狗狗死亡给饲养人带来的精神损害赔偿（如果法律允许并支持精神损害赔偿的话）。
举证责任：
- 饲养人需要提供证据证明狗狗的死亡是由司机的行为直接导致的，以及狗狗的市场价值和其他相关损失。这可能需要通过现场照片、视频、证人证言、狗狗的购买凭证或价值评估报告等证据来支持。
二、交通肇事逃逸的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，发生交通事故后当事人逃逸的，逃逸的当事人承担全部责任。但是，有证据证明对方当事人也有过错的，可以减轻责任。
责任承担：
- 司机逃逸的行为不仅违反了道路交通安全法，还可能构成交通肇事罪（如果事故后果严重，如造成人员伤亡或重大财产损失）。即使不构成犯罪，司机也将面临行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。
报警与追责：
- 饲养人应立即报警，并尽可能提供司机的相关信息（如车牌号、车型、颜色等）以及事故发生的具体时间和地点。警方将展开调查，并依法追究司机的法律责任。
三、综合建议
收集证据：
- 饲养人应尽快收集现场证据，包括照片、视频、证人证言等，以证明狗狗的死亡是由司机的行为导致的。
报警处理：
- 立即向当地公安机关报案，并提供所掌握的证据和信息。警方将依法展开调查，并追究司机的法律责任。
寻求法律援助：
- 如果饲养人在处理此事过程中遇到困难或需要法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据具体情况提供法律建议和支持。
注意诉讼时效：
- 饲养人应在法律规定的诉讼时效期间内提起诉讼或申请仲裁，以维护自己的合法权益。一般来说，民事诉讼的诉讼时效期间为三年，但具体起算点可能因情况而异。
最后，农村狗狗被撞死且司机逃逸是一个涉及动物侵权责任和交通肇事逃逸法律责任的复杂问题。饲养人应积极收集证据、报警处理，并在必要时寻求法律援助。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。