被公司开除后要求签竞业协议是否合法，需根据具体情况综合判断，主要考虑开除原因、协议内容合法性以及经济补偿支付情况等因素。以下是对此问题的详细分析：
一、竞业协议有效的情形
因劳动者过错被开除：
- 若劳动者因严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等自身过错被开除，且此前双方已签订竞业协议，同时用人单位在竞业限制期限内按月给予劳动者经济补偿，那么竞业协议通常仍然有效。这是因为竞业协议的目的是保护用人单位的商业秘密和竞争利益，而劳动者的过错行为并未改变这一事实。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十三条，用人单位与劳动者可以在劳动合同中约定保守用人单位的商业秘密和与知识产权相关的保密事项。对负有保密义务的劳动者，用人单位可以在劳动合同或者保密协议中与劳动者约定竞业限制条款，并约定在解除或者终止劳动合同后，在竞业限制期限内按月给予劳动者经济补偿。
竞业协议内容合法且经济补偿已支付：
- 竞业协议需在双方平等协商基础上签订，内容不违反法律法规的强制性规定，且竞业限制的范围、地域、期限应合理设定。通常，竞业限制期限不得超过二年。
- 用人单位需在竞业限制期限内按约定向劳动者支付经济补偿。若已支付，则竞业协议有效。
二、竞业协议可能无效的情形
因用人单位过错被开除：
- 若劳动者因用人单位的过错（如未按时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费、违法解除劳动合同等）被开除，劳动者可以主张竞业协议无效。因为在此情况下，用人单位的行为已经违反了法律法规，劳动者无需再受竞业协议的约束。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条及《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十八条，劳动者可以解除劳动合同并主张竞业协议无效。若因用人单位的原因导致三个月未支付经济补偿，劳动者请求解除竞业限制约定的，人民法院应予支持。
竞业协议内容违法或显失公平：
- 若竞业协议中的条款违反法律法规的强制性规定，如限制劳动者的基本劳动权利，该条款可能无效。
- 若协议条款对劳动者限制过于严苛而对用人单位约束较少，协议可能被视为无效或部分无效。
用人单位未支付经济补偿：
- 若用人单位未按约定支付竞业限制经济补偿，经劳动者催告后仍不支付的，劳动者可以解除竞业限制约定。
三、实际案例与启示
- 案例1：某公司程序员小王因泄露公司核心代码被开除，此前双方签订了竞业协议，且公司一直支付经济补偿。因此，即使小王被开除，他仍需遵守竞业协议，否则将承担违约责任。
- 案例2：某公司长期拖欠员工小李工资，小李被迫离职。由于公司存在严重过错，小李可以主张竞业协议无效，无需遵守竞业限制约定。
启示：劳动者在面临被开除的情况时，应首先分析开除原因，以判断竞业协议的有效性。同时，要仔细审查竞业协议的内容，确保自身权益不受侵害。
四、建议与行动
- 审查竞业协议：在签订竞业协议前，劳动者应仔细审查协议内容，确保协议合法、合理且公平。
- 保留证据：在处理竞业协议相关问题时，劳动者应注重收集和运用符合法律要求的各种证据，如劳动合同、竞业协议文本、开除通知书、经济补偿支付记录等。
- 寻求法律帮助：若对竞业协议的有效性存在疑问或遇到纠纷，劳动者可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，被公司开除后要求签竞业协议是否合法，需根据具体情况综合判断。劳动者应仔细分析自身情况并咨询专业法律人士以做出正确判断。