结论：在债务人死亡的情况下，其生前所欠供应商的债务并不会因此消失，而是需要由其遗产来清偿。具体来说，如果债务人有遗产，那么其遗产应当首先用于清偿债务；如果遗产不足以清偿全部债务，那么债权人只能就遗产的实际价值主张清偿，超出部分无法得到清偿。

详细分析：

1. 债务继承与清偿原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人死亡后，其遗产应当用于清偿生前所欠的债务。这是基于“债务随人走”但“遗产需担责”的法律原则。
   • 如果债务人有遗产，那么其遗产管理人或继承人应当负责用遗产来清偿债务。这包括但不限于银行存款、房产、车辆等可以变现的资产。

2. 遗产不足以清偿债务的情况：

   • 如果债务人的遗产不足以清偿全部债务，那么债权人只能就遗产的实际价值主张清偿。例如，如果债务人欠供应商100万元，但其遗产只有50万元，那么供应商最多只能获得50万元的清偿。
   • 在这种情况下，债权人无法要求债务人的继承人或遗产管理人用个人财产来清偿超出遗产价值的部分债务。

3. 无遗产或遗产放弃继承的情况：

   • 如果债务人没有遗产，或者其继承人放弃继承遗产，那么债权人将无法通过遗产来获得清偿。
   • 在这种情况下，债权人可能会面临无法追回债务的风险。然而，这并不意味着债务“消失”或“免除”，而是由于债务人没有可供执行的财产而导致的法律后果。

4. 实际操作中的建议：

   • 对于供应商来说，如果得知债务人死亡，应尽快与债务人的继承人或遗产管理人联系，了解遗产情况，并主张自己的债权。
   • 如果可能的话，供应商可以寻求法律援助或咨询专业律师，以了解自己的法律权益和可能的救济途径。
   • 在处理此类事务时，供应商应保留好所有与债务相关的证据和文件，以便在需要时提供证明。

后续行动建议：

• 如果你作为供应商遇到了这样的情况，我建议你首先收集并整理好所有与债务相关的证据和文件。
• 然后，尽快与债务人的继承人或遗产管理人取得联系，了解遗产情况，并表达你的清偿主张。
• 如果遇到困难或不确定如何处理，随时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。