结论前置：
- 若公司合法辞退且员工存在过错，则无需支付赔偿；
- 若公司合法辞退但非员工过错，或双方协商一致解除劳动合同，则需支付经济补偿；
- 若公司违法辞退，则需支付赔偿金。
详细分析：
一、公司合法辞退且员工存在过错（无需支付赔偿）
适用情形：
- 员工严重违反公司规章制度；
- 员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
- 员工被依法追究刑事责任等。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，用人单位可以因劳动者过错单方解除劳动合同，且无需承担经济补偿责任。
示例：
- 若员工因盗窃公司财物被依法追究刑事责任，公司有权合法辞退该员工，且无需支付任何赔偿。
二、公司合法辞退但非员工过错，或双方协商一致解除劳动合同（需支付经济补偿）
适用情形：
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议；
- 公司依照企业破产法规定进行重整，需要裁减人员；
- 公司生产经营发生严重困难，需要裁减人员；
- 双方协商一致解除劳动合同。
补偿标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。对于工作半年的员工，应支付一个月工资的经济补偿。
计算公式：
- 经济补偿 = 月工资 × 工作年限（半年按1个月计算）
示例：
- 若员工月工资为5000元，工作半年后被公司合法辞退（非员工过错），则公司应支付的经济补偿为5000元。
三、公司违法辞退（需支付赔偿金）
适用情形：
- 公司无法证明辞退符合法定事由；
- 辞退程序违反法律规定（如未提前通知工会）。
补偿标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于工作半年的员工，赔偿金为一个月工资的两倍，即两个月工资。
计算公式：
- 赔偿金 = 月工资 × 工作年限（半年按1个月计算）× 2
示例：
- 若员工月工资为6000元，工作半年后被公司违法辞退，则公司应支付的赔偿金为12000元。
四、特殊情况
- 月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的员工：经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
- 未提前通知的代通知金：若公司未提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后解除劳动合同的，除支付赔偿金外，还需支付这一个月工资的代通知金。
维权途径：
- 若员工对公司辞退行为有异议，可先与公司协商解决；协商不成时，可向劳动争议仲裁机构申请仲裁，以维护自己的合法权益。仲裁时效为离职后一年内。
证据收集：
- 员工应保留劳动合同、工资条、辞退通知书等材料，以支持自己的主张。
综上所述，工作半年被辞退是否有赔偿及补偿多少，需根据具体辞退原因和法律规定来判断。员工应了解自己的权益，并在必要时采取适当措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。