针对您提出的问题，当老夫妻中的一方去世后，想要从银行取出其名下的存款，可以按照以下步骤进行：

首先，需要明确的是，存款人去世后，其存款将作为遗产由继承人继承。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承有明确的顺序：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在您所描述的情况下，如果去世的一方没有留下遗嘱，且其父母、子女均已不在世，那么其配偶（即老夫妻中的另一方）作为第一顺序继承人，有权继承该存款。但若配偶也已去世或者存在其他第一顺序继承人（如子女，尽管在您描述中未提及，但理论上需考虑），则需按照法定继承顺序进行。不过，基于您当前描述，我们主要讨论配偶作为唯一第一顺序继承人的情况。

接下来，为了顺利取出存款，您可以采取以下两种途径之一：

1. 通过公证处公证解决：

   • 您需要准备以下材料：合法继承人的身份证、户口本，以及能够证明您与去世一方为夫妻关系的证明（如结婚证），还有去世一方的死亡证明。
   • 前往当地的公证处，申请办理继承权公证。公证处会审核您的材料，并出具公证书，证明您有权继承去世一方的存款。
   • 取得公证书后，您可以将公证书提供给银行，银行在审核无误后，会允许您取出存款。

2. 通过法院诉讼解决（在继承权存在纠纷或银行不认可公证时）：

   • 如果您与其他潜在继承人（如去世一方的兄弟姐妹等，尽管在您描述中可能不存在）之间存在继承权纠纷，或者银行不认可您提供的公证材料，您可以通过法院诉讼来解决。
   • 您可以以继承权纠纷或储蓄合同纠纷为由，向人民法院提起诉讼。
   • 法院在审理案件后，会出具生效的裁判文书，明确您有权继承去世一方的存款。
   • 取得法院的生效裁判文书后，您可以将其提供给银行，银行在审核无误后，会允许您取出存款。

在实际操作中，如果情况明确且没有其他继承人争议，通过公证处公证解决通常更为简便快捷。因此，我建议您首先尝试通过公证处办理继承权公证来取出存款。如果遇到任何困难或纠纷，再考虑通过法院诉讼来解决。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。