结论前置：在第二次合同到期时，单位提前一个月告知员工不续签，一般情况下，员工有权获得经济补偿。但具体是否需要支付赔偿款（此处应理解为经济补偿，因为赔偿款通常指违法解除或终止劳动合同的赔偿金），需根据具体情况判断。
应当支付经济补偿的情况
单位主动不续签：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项和第四十六条第五项的规定，劳动合同期满终止，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 在您的情况下，单位提前一个月告知不续签，且未提及维持或提高劳动合同约定条件，因此员工有权获得经济补偿。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
- 月工资指劳动者在合同解除前十二个月的平均工资。
- 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年的部分，按实际月数计算，六个月以上按一年计算，不满六个月按半个月计算）。
无需支付经济补偿的特殊情况
单位维持或提高条件续签而员工拒绝：
- 如果单位在续签劳动合同时维持或提高了原劳动合同约定的条件（如工资、福利等），而员工明确表示不同意续签，那么单位在此情况下无需支付经济补偿。
员工存在过错：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，如果员工存在严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等情形，即使劳动合同到期终止，单位也无需支付经济补偿。但这种情况在您的描述中并未提及，因此不适用。
特殊情形下的赔偿金
- 连续订立两次固定期限劳动合同后的特殊情形：
- 根据《劳动合同法》第十四条第二款第三项，连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或同意续订时应当订立无固定期限劳动合同。
- 若单位在此情形下拒绝续订或未依法订立无固定期限合同，且没有合法理由（如员工存在过错或单位维持/提高条件续签而员工拒绝），则属于违法终止劳动关系，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。但实践中若单位以“合同到期不续签”为由终止，且未涉及上述违法情形，通常仍按经济补偿处理。
处理建议
协商沟通：
- 优先与单位协商赔偿金额及离职手续，保留书面沟通记录，如邮件、短信或书面通知等。
留存证据：
- 保存劳动合同、工资流水、终止通知等材料，作为维权依据。
法律救济：
- 若协商未果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张经济补偿金。
- 如认为单位存在违法终止劳动关系的情形，可一并主张赔偿金（需提供充分证据）。
总结：在第二次合同到期时，单位提前一个月告知不续签，员工通常有权获得经济补偿。具体金额根据工作年限和月工资计算。如单位存在违法终止劳动关系的情形，员工还可主张赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。