结论：不与员工续签劳动合同，解除劳动合同的日期应当是劳动合同到期日的次日，而非劳动合同到期最后一天。
法律背景与解释：
劳动合同到期日的法律意义：
- 劳动合同到期日是双方约定的合同终止的日期。在这一天，劳动合同的法律效力自然终止，除非双方有续签的意愿并达成一致。
解除劳动合同的时机：
- 如果用人单位决定不与员工续签劳动合同，那么解除劳动合同的行为应当在劳动合同到期后进行，即到期日的次日。这是因为在劳动合同到期日当天，合同仍然有效，双方仍需履行合同约定的义务。
- 若在劳动合同到期日当天或之前通知员工不续签，并试图在当天解除合同，这实际上可能构成违法解除，因为合同在到期日当天仍然有效，用人单位无权单方面提前终止。
实际操作建议：
- 用人单位应在劳动合同到期前，与员工进行沟通，明确是否续签的意愿。
- 如果决定不续签，应在劳动合同到期后，即到期日的次日，向员工发出正式的解除劳动合同通知，并办理相关离职手续。
- 这样做既符合法律规定，也能避免因解除时机不当而引发的法律纠纷。
可能的法律后果：
- 如果用人单位在劳动合同到期日当天或之前单方面解除合同，可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任，如支付赔偿金等。
- 员工也有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
特殊情况说明：
- 如果劳动合同中有特别约定，如“合同到期自动终止，无需另行通知”等条款，这些条款可能因违反法律法规的强制性规定而无效。因此，用人单位不能仅凭此类条款来规避法律责任。
总结与建议：
- 用人单位在处理劳动合同到期不续签的情况时，应严格遵守法律规定，确保解除劳动合同的时机合法合规。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。