结论前置：当单位不让休哺乳期假时，这是违法的行为，您有权依法维护自己的合法权益。以下是从多个角度为您提供的详细分析和建议：
一、法律依据
《女职工劳动保护特别规定》第九条：明确规定了对哺乳未满1周岁婴儿的女职工，用人单位不得延长劳动时间或者安排夜班劳动，并应当在每天的劳动时间内为哺乳期女职工安排1小时哺乳时间；女职工生育多胞胎的，每多哺乳1个婴儿每天增加1小时哺乳时间。
《中华人民共和国劳动法》第六十三条：也强调不得安排女职工在哺乳未满一周岁的婴儿期间从事国家规定的第三级体力劳动强度的劳动和哺乳期禁忌从事的其他劳动，不得安排其延长工作时间和夜班劳动。
二、应对措施
与单位沟通协商：
- 正式提出请求：首先，您可以向单位人事部门或直属领导提交书面哺乳假申请，注明请假时长（通常至婴儿满1周岁）、工作交接计划等关键信息。同时，也可以进行口头沟通，说明哺乳需求对工作的影响及解决方案。
- 协商调整方案：若单位以工作为由拒绝，您可以提议通过远程办公、弹性工时等方式平衡育儿与工作。例如，将每日1小时哺乳时间拆分到午间和下班前各半小时，以减轻对工作的影响。
寻求外部帮助：
- 工会介入调解：如果与单位协商无果，您可以向单位工会提交书面求助材料，由工会代表与单位协商。工会可以通过集体合同谈判等方式推动建立哺乳室、延长哺乳假等措施，以维护您的合法权益。
- 劳动仲裁维权：若工会介入仍未解决问题，您可以收集劳动合同、工资单、考勤记录等材料，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。根据《劳动争议调解仲裁法》，此类案件需在知道权益被侵害之日起一年内提出。
- 司法诉讼救济：如果您对仲裁结果不服，可以在收到裁决书15日内向法院起诉。在诉讼过程中，您需要重点准备医疗证明、单位规章制度等证据链，以支持您的诉求。
三、保留证据与注意事项
- 全程留痕：在与单位沟通协商的过程中，务必保存好沟通录音、邮件往来、书面通知等所有证明材料。这些证据将在后续的维权过程中发挥重要作用。
- 及时行动：一旦发现权益受损，应尽快启动维权程序，避免超过法定时效。因为法律对于维权时效有明确规定，逾期可能会丧失维权机会。
- 了解赔偿标准：如果单位违法解除劳动合同或拒绝安排哺乳假，您有权要求单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。具体赔偿标准可根据您在本单位的工作年限和工资水平进行计算。
四、特殊情况处理
- 如果单位以各种理由变相辞退您：这同样是违法的行为。您可以按照上述应对措施中的步骤进行维权，同时要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 如果单位虽然未辞退您，但降低了您的工资或福利待遇：这也是违法的。您可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求单位恢复您的原工资和福利待遇。
最后建议：在处理此类问题时，建议您保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助和支持。