在继承案件中，如果发现原告行为能力欠缺，即原告为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，那么指定监护人就显得尤为重要。针对您提出的问题，如果一个子女申请指定监护人，其他子女的身份及处理方式，我们可以从以下几个方面进行详细解答：
一、监护人的确定原则
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人的监护人确定，遵循以下顺序和原则：
- 配偶：首先考虑由配偶担任监护人。
- 父母、子女：若配偶无法担任或不存在，则由父母、子女按顺序担任。
- 其他近亲属：若父母、子女也无法担任，则考虑其他近亲属，如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等。
- 其他愿意担任监护人的个人或组织：若上述人员均无法担任或不存在，则其他愿意担任监护人的个人或组织，在经过被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意后，可以担任监护人。
二、其他子女的身份及处理方式
作为近亲属的身份：
- 如果其他子女是健在的，并且具备监护能力，那么他们按照法律规定，是优先于其他非近亲属的监护人候选人。
- 在这种情况下，如果有一个子女申请指定监护人，法院会首先考虑其他子女的意见和监护能力。
协商确定监护人：
- 根据《民法典》第三十条，依法具有监护资格的人之间可以协议确定监护人。这意味着，如果其他子女之间能够就监护事宜达成一致，他们可以共同协商确定一个或多个监护人。
向法院申请指定监护人：
- 如果其他子女之间无法就监护事宜达成一致，或者存在争议，那么任何一方都可以向法院申请指定监护人。
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑被监护人的意愿、监护人的监护能力、与被监护人的关系等因素，按照最有利于被监护人的原则进行判决。
非近亲属申请监护人的情况：
- 如果其他子女均无法担任监护人，或者不存在其他子女，那么其他愿意担任监护人的个人或组织（如侄子/侄女、外甥/外甥女等，虽然不属于近亲属，但属于“其他愿意担任监护人的个人”）在经过被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意后，也可以向法院申请指定为监护人。
三、实际案例参考
以您提供的参考信息为例，赵某甲因精神发育迟滞被认定为无民事行为能力人，其父母已去世且无子女。在这种情况下，赵某甲的姨侄女赵某乙作为“其他愿意担任监护人的个人”，在经过相关居民委员会及其他具有监护资格的监护人的一致同意后，向法院申请担任赵某甲的监护人，并最终获得了法院的准许。
四、建议
- 协商优先：在可能的情况下，其他子女应首先尝试通过协商确定监护人，以减少争议和法律程序。
- 尊重被监护人意愿：在确定监护人时，应尽可能尊重被监护人的真实意愿。
- 寻求法律帮助：如果无法就监护事宜达成一致或存在争议，建议寻求专业法律帮助，通过法律途径解决。
综上所述，如果一个子女申请指定监护人，其他子女的身份及处理方式主要取决于他们是否具备监护能力、是否愿意担任监护人以及是否能够与其他子女就监护事宜达成一致。在无法达成一致或存在争议的情况下，可以通过法律途径解决。