关于第一顺序继承人死亡后是否还有继承资格的问题，这确实是一个涉及法律细节和具体情境的问题。下面我将结合相关法律规定，为您详细解答。

首先，我们需要明确的是，第一顺序继承人若死亡，其直接的继承权在一般情况下是不存在的，因为继承权是与继承人的生存状态直接相关的。但是，法律为了保障遗产的连续传承和继承人的合法权益，规定了两种特殊情形：代位继承和转继承。

一、代位继承

如果第一顺序继承人（比如子女、配偶或父母中的某一位）在被继承人之前去世，那么这位已故的继承人虽然无法直接继承遗产，但其直系晚辈血亲（如子女、孙子女等）可以代位继承其原本应得的遗产份额。这是根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十八条第一款的规定来执行的。举个例子，如果甲去世，其儿子乙先于甲去世，那么乙的子女（即甲的孙子女）就有权代位继承乙本应从甲处继承的遗产部分。

二、转继承

另一种情况是，当被继承人去世后，继承程序已经启动，但在遗产实际分割之前，第一顺序继承人中的某一人不幸去世。这时，该继承人原本应得的遗产份额并不会消失，而是会转由其自己的法定继承人（如配偶、子女、父母等）来继承。这一过程被称为转继承，是根据《中华人民共和国民法典》第一千一百五十二条的规定来执行的。例如，甲去世后，其儿子乙作为第一顺序继承人本应继承甲的遗产，但在遗产分割前乙也去世了，那么乙应继承的份额将转由乙的法定继承人（如乙的配偶、子女等）来继承。

总结与建议

综上所述，第一顺序继承人若死亡，其直接的继承权在一般情况下是不存在的。但是，在代位继承和转继承这两种特殊情形下，其遗产份额仍然可以得到妥善的处理和传承。因此，在处理遗产继承问题时，我们需要根据具体情况来判断是适用代位继承还是转继承，并遵循相关法律法规的规定来确保遗产的公平、公正、合法分配。

最后，我建议您在处理遗产继承问题时，如果涉及复杂的法律关系和较多的遗产份额，最好咨询专业律师以获取更详细、更具体的法律建议。这样可以确保您的权益得到充分的保障，避免不必要的法律纠纷和损失。