结论：孩子刚满月时父母起诉离婚，原则上抚养权会判给母亲，但也存在特殊情况可能导致抚养权判给父亲。法院在判决时会综合考虑双方的具体情况及子女的最大利益。
一、基本判定原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条的规定，离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。这是因为两周岁以下的子女尚在哺乳期，对母亲的生理和情感需求更为依赖，母亲通常能够提供更为周全且细致的照料，这更有利于孩子的身心健康和成长发育。
二、特殊情况
尽管原则上由母亲抚养，但在以下特殊情况下，抚养权可能判给父亲：
母亲患有严重疾病：如果母亲患有久治不愈的传染性疾病（如艾滋病、活动期肺结核等）或其他严重疾病（如严重的精神疾病），子女不宜与其共同生活，此时抚养权可能判给父亲。
母亲不尽抚养义务：母亲有抚养条件但不尽抚养义务，例如有稳定的经济收入和生活条件却对孩子不管不顾，而父亲要求子女随其生活，这种情况下抚养权也可能判给父亲。
其他原因：如母亲有吸毒、赌博等恶习，或存在虐待孩子的行为，或因其他原因子女确实无法随母亲生活，抚养权同样可能判给父亲。
三、父亲争取抚养权的准备
如果父亲希望争取抚养权，他需要准备充分的证据来证明自己具备更好的抚养条件和抚养能力。这些证据可能包括：
四、抚养费与探视权
无论抚养权最终判给哪一方，不直接抚养子女的一方都有支付抚养费的义务。抚养费的数额和支付方式可根据子女的实际需要、父母的负担能力以及当地的实际生活水平来确定。同时，不直接抚养子女的一方也享有探视权，探视的方式、时间和频率等可通过双方协商确定；协商不成时，可向法院提起诉讼，由法院依法裁决。
五、建议与总结
在处理此类抚养纠纷时，我建议双方首先尝试通过协商达成一致意见，以减少对孩子的伤害和影响。如果协商不成，可以寻求法律途径解决。法院在判决时会综合考虑多种因素，以确保判决最有利于未成年子女的身心健康和成长发展。
如果您面临这样的情况，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。