结论：搭伙过日子（即未办理结婚登记而共同生活）的情况下，对方子女一般不享有继承权，但具体还需根据是否形成有抚养关系的继父母子女关系来判断。
一、未形成有抚养关系的继父母子女关系
在搭伙过日子的情形中，如果双方子女并未与另一方形成有抚养关系的继父母子女关系，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，子女并非法定继承人中的“子女”范畴（此处的“子女”通常指的是婚生子女、非婚生子女、养子女和有抚养关系的继子女）。因此，在这种情况下，对方子女不享有继承权。
二、形成了有抚养关系的继父母子女关系
如果搭伙过日子的双方中，一方对另一方的子女进行了抚养教育，形成了有抚养关系的继父母子女关系，那么情况就有所不同。根据法律规定，有抚养关系的继子女与婚生子女、非婚生子女、养子女享有同等的继承权。这意味着，在这种情况下，对方子女（即形成了有抚养关系的继子女）是有权继承其继父母的遗产的。
具体分析：
抚养关系的认定：抚养关系通常指的是继父母对继子女进行了生活上的照料、教育上的支持以及经济上的供养等。这种关系的认定需要综合考虑多种因素，如共同生活的时间、继父母是否承担了抚养教育的义务、继子女是否接受了继父母的抚养教育等。
继承权的行使：如果形成了有抚养关系的继父母子女关系，那么继子女在继承其继父母遗产时，享有与婚生子女同等的权利。他们可以作为第一顺序继承人参与遗产分配，与其他第一顺序继承人（如配偶、父母等）共同继承遗产。
三、建议与注意事项
明确关系性质：在搭伙过日子的情况下，双方应明确彼此之间的关系性质，以及子女与另一方之间的关系性质。这有助于避免未来可能出现的继承纠纷。
签订协议：为了保障双方的权益，可以考虑签订一份协议，明确双方的权利义务关系，包括财产分配、子女抚养等问题。这可以在一定程度上减少未来可能出现的法律纠纷。
咨询专业律师：如果涉及复杂的继承问题或存在争议，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。我可以为你提供婚姻家庭、遗产继承领域的专业法律咨询，帮助你解决相关问题。
关注法律动态：法律是不断发展和变化的，因此应关注最新的法律动态和司法解释，以确保自己的权益得到充分保障。