结论：家长一般不可以直接就未成年子女十年前的案底提起行政复议，但具体能否复议需结合案底性质、是否涉及行政行为及复议时效等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、行政复议的适用范围与前提
行政复议是针对行政机关具体行政行为的合法性、适当性进行审查的制度。若未成年子女的案底是刑事案件记录（如犯罪记录），则该记录的形成源于司法机关（如公安机关侦查、检察院起诉、法院审判）的刑事司法活动，而非行政机关的行政行为，因此不属于行政复议的受案范围。家长无法直接对刑事案件记录提起行政复议。
若案底是行政机关作出的行政处罚记录（如治安管理处罚），且家长认为该处罚决定违法或不当，理论上可以申请行政复议。但需满足以下条件：
- 复议时效：根据《行政复议法》第九条，公民、法人或其他组织应在知道行政行为之日起60日内提出复议申请（法律另有规定的除外）。若案底已形成十年，远超法定时效，除非存在不可抗力或其他正当理由（如长期不知情、行政机关未告知复议权利等），否则复议机关可能不予受理。
- 案底性质：需确认该记录是否仍存在法律效力。例如，若行政处罚已被撤销、确认违法或因超过追诉时效而失效，则复议已无实际意义。
二、案底记录的合法性与救济途径
刑事案件记录：
- 刑事犯罪记录由司法机关依法作出，具有终局性。家长若对记录内容有异议（如认为案件存在冤假错案），应通过刑事申诉或申请再审等司法程序解决，而非行政复议。
- 若未成年子女被错误定罪，可依据《刑事诉讼法》相关规定，向法院或检察院提出申诉，请求撤销原判决或裁定。
行政处罚记录：
- 若行政处罚决定违法或不当，家长可在法定期限内申请行政复议或提起行政诉讼。但如前所述，十年前的处罚决定可能因超过时效而无法复议。
- 若行政机关未依法履行告知义务（如未告知复议权利或期限），家长可尝试以“程序违法”为由申请复议，但需提供充分证据证明自身不知情且无过错。
三、家长可采取的实际措施
查询案底性质：
- 家长可向作出记录的机关（如公安机关、法院）查询案底的具体性质（刑事或行政），并要求提供相关法律文书（如判决书、处罚决定书）。
咨询专业意见：
- 若对案底性质或救济途径存疑，建议家长携带相关法律文书，直接向我咨询。我可根据具体案情，分析是否存在复议、诉讼或其他救济可能性。
关注案底影响：
- 即使无法撤销案底，家长也可关注该记录对子女未来生活的影响（如就业、升学等）。部分情况下，可依据《未成年人保护法》或相关政策，申请对案底进行封存或限制公开，以减少对子女的负面影响。
四、总结与建议
- 刑事案底：无法通过行政复议解决，需通过司法程序申诉。
- 行政案底：若未超时效且处罚违法，可申请复议；否则需考虑其他救济途径。
- 实际建议：家长应优先确认案底性质，再根据具体情况选择合适的救济方式。如有疑问，可直接向我咨询，我将提供专业法律意见。