结论前置：在家庭婚姻存续期间，如果一方有收入但未支付孩子的生活费，另一方作为直接抚养孩子的一方或孩子的法定代理人，确实有权向法院起诉要求支付孩子的生活费。
法律背景与依据：
父母的抚养义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条的规定，父母对子女负有抚养教育的法定义务。这一义务并不因夫妻关系的存续状态而改变。即使夫妻双方未离婚，若其中一方怠于履行抚养责任，导致子女权益受损，另一方有权以子女的名义或自己的名义向法院提起抚养费诉讼。
抚养费的内容：
- 抚养费不仅限于孩子的生活费，还包括教育费、医疗费等费用。这是为了确保孩子能够健康成长，接受必要的教育和医疗照顾。
司法解释的支持：
- 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十三条明确规定，婚姻关系存续期间，父母双方或者一方拒不履行抚养子女义务，未成年子女或者不能独立生活的成年子女请求支付抚养费的，人民法院应予支持。这为提起抚养费诉讼提供了明确的法律依据。
实际操作与考量因素：
提起诉讼的主体：
- 通常，直接抚养孩子的一方或孩子的法定代理人（如父母中的另一方）有权提起抚养费诉讼。这是为了保护孩子的合法权益，确保他们能够得到必要的抚养和支持。
法院的审理与判决：
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑多个因素，包括孩子的实际需要、父母双方的负担能力、当地的实际生活水平以及双方的经济状况等。这些因素共同构成了法院判定抚养费数额和支付方式的重要依据。
- 例如，如果孩子需要接受特殊教育或医疗照顾，法院可能会判决支付更高的抚养费。同时，如果支付方有稳定的收入来源，法院也会考虑其经济状况，确保判决的公正性和合理性。
特殊情况的应对：
- 在现实生活中，可能存在多种特殊情况导致一方无法独自承担抚养子女的责任。如直接抚养子女的一方经济状况恶化、另一方拒绝履行抚养义务等。在这些情况下，通过诉讼要求对方支付抚养费是合理且必要的。
法律建议：
尝试协商解决：
- 在提起诉讼之前，建议双方尝试通过协商解决抚养费问题。这可以节省时间和金钱，同时维护家庭关系的和谐。
收集证据：
- 如果协商无果，准备提起诉讼时，请务必收集相关证据，如孩子的实际需要证明、父母双方的经济状况证明等。这些证据将有助于法院作出公正的判决。
遵循法律程序：
- 提起抚养费诉讼需要遵循一定的法律程序。请确保按照法院的要求提交起诉状和相关证据，并按时参加庭审。如有需要，可以寻求专业律师的帮助以确保诉讼的顺利进行。
可能法律后果：
- 如果法院判决支付方支付抚养费，而支付方拒不履行判决，另一方可以向法院申请强制执行。这可能导致支付方的财产被查封、冻结或拍卖等后果。
总之，在家庭婚姻存续期间，如果一方有收入但未支付孩子的生活费，另一方有权向法院起诉要求支付。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。