国家赔偿由法定的赔偿义务机关根据具体情形确定并履行赔偿义务。国家赔偿主要分为行政赔偿和刑事赔偿两大类，每类赔偿的赔偿义务机关根据具体情况有所不同，以下是对这两类赔偿的详细解释：

行政赔偿的赔偿义务机关

1. 一般情况：行政机关及其工作人员在行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，该行政机关为赔偿义务机关。例如，某县市场监督管理局违法吊销某企业营业执照，那么县市场监督管理局即为赔偿义务机关。

2. 共同行政行为：两个以上行政机关共同行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，共同行使行政职权的行政机关为共同赔偿义务机关。如县环保局与县水利局联合执法过程中违法对某工厂进行罚款，那么二者即为共同赔偿义务机关。

3. 授权组织：法律、法规授权的组织在行使授予的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，被授权的组织为赔偿义务机关。例如，某高校被法律授权对学生学位资格进行审核授予，若在此过程中侵犯学生合法权益，则该高校为赔偿义务机关。

4. 委托行政：受行政机关委托的组织或者个人在行使受委托的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，委托的行政机关为赔偿义务机关。例如，乡政府委托某村委会代行某项行政职权，村委会在执行中侵权，则乡政府为赔偿义务机关。

5. 行政机关撤销情形：赔偿义务机关被撤销的，继续行使其职权的行政机关为赔偿义务机关；没有继续行使其职权的行政机关的，撤销该赔偿义务机关的行政机关为赔偿义务机关。

6. 复议后赔偿：经复议机关复议的，最初造成侵权行为的行政机关为赔偿义务机关，但复议机关的复议决定加重损害的，复议机关对加重的部分履行赔偿义务。

刑事赔偿的赔偿义务机关

1. 拘留措施：对公民采取拘留措施，依照《国家赔偿法》的规定应当给予国家赔偿的，作出拘留决定的机关为赔偿义务机关。通常是公安机关、国家安全机关等有权作出拘留决定的机关。

2. 逮捕后无罪处理：对公民采取逮捕措施后决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪的，作出逮捕决定的机关为赔偿义务机关。在我国，一般是人民检察院作出逮捕决定，所以通常检察院是此类情况的赔偿义务机关。

3. 再审改判无罪：作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关。

4. 二审改判无罪：以及二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。

赔偿费用的支付

赔偿义务机关确定后，赔偿费用的支付由赔偿义务机关预算所属的财政部门负责。具体来说，赔偿义务机关属于县区财政预算管理的，由县区财政局安排资金；赔偿义务机关是市级财政预算管理的，由市财政局安排资金。

在实际操作中，如果您作为受害者，应了解相关法律规定，及时向正确的赔偿义务机关提出赔偿请求，以维护自身合法权益。如果您在申请国家赔偿过程中遇到任何问题，或者需要进一步的法律帮助，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议。