结论：公司是否可以因员工传播不利于团结的话而开除员工，需根据具体情况判断，主要看该行为是否构成严重违反公司规章制度或劳动合同约定，以及是否达到法律规定的用人单位可解除劳动合同的情形。
分析：
从公司规章制度和劳动合同角度：
- 如果公司的规章制度或劳动合同中明确规定了员工不得传播不利于团结的话，且该规定不违反法律法规的强制性规定，那么员工违反此规定，公司有权依据规章制度或劳动合同进行相应处理，包括开除。
- 但公司规章制度或劳动合同的制定必须合法、合理，且需经过民主程序制定并公示或告知员工，否则可能因程序不合法或内容不合理而被认定为无效。
从法律规定角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。因此，如果员工传播不利于团结的话的行为被认定为严重违反公司规章制度，公司可以开除员工。
- 同时，如果员工的行为还涉嫌侮辱、诽谤等侵犯他人名誉权的行为，且情节严重，可能构成违法或犯罪，公司也可以依据相关法律法规进行开除处理。但在此情况下，公司需确保有充分的证据证明员工的行为构成违法或犯罪。
从实际操作角度：
- 公司在处理此类事件时，应首先进行调查核实，确保有充分的证据证明员工确实传播了不利于团结的话。
- 其次，公司应依据规章制度或劳动合同的规定，与员工进行沟通协商，给予员工解释和申辩的机会。
- 最后，如果公司决定开除员工，应确保开除决定合法、合理，并按照法律法规的规定办理相关手续，如支付经济补偿金（如适用）、办理离职手续等。
建议：
- 对于公司而言，应制定合法、合理的规章制度，并明确规定员工不得传播不利于团结的话等行为及其后果。同时，公司应加强对员工的培训和教育，提高员工的法律意识和职业道德水平。
- 对于员工而言，应遵守公司的规章制度和劳动合同的约定，不得传播不利于团结的话或进行其他违法违规行为。如果员工认为公司的处理决定不合法或不合理，可以通过法律途径维护自己的合法权益。
后续思考：
- 在实际操作中，如何界定“传播不利于团结的话”可能存在一定的主观性和模糊性。因此，公司在制定规章制度时应尽量明确具体情形和标准，以便员工理解和遵守。
- 如果员工的行为确实构成了违法或犯罪，公司除了开除员工外，还应及时向相关部门报案或举报，以维护公司的合法权益和社会秩序。
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