结论：在打架被拘留的情况下，公安机关通常不会随意向一方提供另一方的个人信息，除非在特定法律程序和条件下，如涉及案件调查、诉讼需要等，且需遵循严格的法律程序和规定。
分析说明：
个人信息保护原则：
- 根据我国相关法律法规，个人信息受到严格保护，任何组织或个人不得非法收集、使用、加工、传输他人个人信息，也不得非法买卖、提供或者公开他人个人信息。公安机关作为执法机关，同样需要遵守这一原则。
公安机关提供个人信息的条件：
- 公安机关在办理案件过程中，如果需要获取或提供涉案人员的个人信息，必须遵循严格的法律程序和规定。这通常涉及案件调查、诉讼需要等特定情境，且需要确保信息的合法性和必要性。
- 在打架等治安案件中，如果双方已经涉及行政处罚或刑事诉讼，公安机关可能会在法律程序内，根据案件需要，向相关方（如法院、检察院）提供必要的个人信息，但这一过程受到严格监管，不是随意进行的。
个人信息的获取途径：
- 如果一方想要获取另一方的个人信息，通常需要通过合法途径，如向法院申请调查令、在诉讼过程中通过律师向法院申请等。这些途径都需要遵循严格的法律程序和规定，且需要提供充分的理由和证据。
非法获取个人信息的后果：
- 如果一方通过非法手段获取另一方的个人信息，如私自查询、窃取等，将可能面临法律责任，包括但不限于行政处罚、民事赔偿甚至刑事责任。
特殊场景：
- 在打架案件中，如果双方已经达成和解或调解，且没有涉及进一步的法律程序，那么公安机关通常不会主动提供或要求提供另一方的个人信息。
- 如果一方认为自己的个人信息被非法获取或泄露，可以向公安机关报案，要求依法处理。
建议与行动：
- 如果您在打架案件中需要获取另一方的个人信息，建议通过合法途径进行，如向法院申请调查令或在诉讼过程中通过律师申请。
- 请务必遵守法律法规，不要尝试通过非法手段获取他人个人信息，以免面临法律责任。
- 如果您对个人信息保护或打架案件的处理有进一步疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。