结论：对于在职人员应聘其他职位，在私人单位未签合同的情况下，是否需要经过原用人权限部门或单位的同意，这主要取决于原单位的相关规章制度以及双方之间的约定。若原单位有明确规定或双方有相关约定，则通常需要同意；若无明确规定或约定，则可能不需要，但建议从职业道德和避免潜在纠纷的角度考虑，与原单位进行沟通。
分析说明：
原单位规章制度与约定：
- 在职人员应聘其他职位时，是否需要经过原用人权限部门或单位的同意，首先应查看原单位的相关规章制度。许多单位会在员工手册或劳动合同中明确规定员工在职期间应聘其他职位的流程和要求，包括是否需要获得原单位的同意。
- 如果原单位有此类规定，或者双方在劳动合同中有相关约定，那么员工在应聘其他职位时，通常需要遵循这些规定或约定，即需要获得原单位的同意。
无明确规定或约定的情况：
- 如果原单位没有明确规定员工在职期间应聘其他职位需要获得同意，或者双方在劳动合同中没有相关约定，那么从法律角度来看，员工可能不需要获得原单位的同意即可应聘其他职位。
- 然而，即使法律上没有明确要求，从职业道德和避免潜在纠纷的角度考虑，员工在应聘其他职位前，最好还是与原单位进行沟通，说明自己的情况和意图，以维护良好的职业关系和避免不必要的麻烦。
私人单位未签合同的特殊性：
- 在私人单位未签合同的情况下，虽然双方之间没有书面的劳动合同来明确各自的权利和义务，但并不意味着员工可以随意应聘其他职位而无需考虑原单位的意见。
- 实际上，即使没有书面合同，双方之间仍然可能存在事实上的劳动关系，员工在应聘其他职位时，仍然需要考虑到原单位的利益和感受，以避免给原单位造成不必要的损失或影响。
建议与行动：
- 查看规章制度：首先查看原单位的相关规章制度，了解是否有关于员工在职期间应聘其他职位的规定或要求。
- 沟通协商：如果原单位有相关规定或双方有相关约定，或者即使没有明确规定但出于职业道德和避免纠纷的考虑，建议与原单位进行沟通协商，说明自己的情况和意图，并寻求原单位的理解和支持。
- 谨慎行事：在应聘其他职位时，要谨慎行事，确保自己的行为不会给原单位造成不必要的损失或影响，同时也要保护好自己的合法权益。
后续法律后果：
- 如果员工未经原单位同意擅自应聘其他职位，并给原单位造成了损失或影响，原单位可能会依据相关法律法规或规章制度追究员工的责任，包括但不限于要求赔偿损失、解除劳动关系等。
- 因此，员工在应聘其他职位时，一定要谨慎考虑并遵循相关规定和约定，以避免不必要的法律纠纷和损失。
如有更多关于合同纠纷或劳动工伤方面的疑问，可以直接向我咨询。